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26 de fevereiro de 2017

Como determinar a resistência do resistor equivalente de uma associação em série

Associação de resistores em série
No final deste tópico o aluno, por meio de exercícios respondidos, será capaz de entender como os resistores são combinados em série e determinará a resistência do resistor equivalente da associação. Observará que numa associação em série as resistências são combinadas uma em seguida da outra e são percorridos pela mesma corrente. Perceberá que a diferença de potencial (ddp) de toda a associação será equivalente à soma das ddp´s em cada resistor.

1º) Determine a resistência do resistor equivalente (Req) da associação em série de três resistores, conforme a figura abaixo:

Note que os resistores do circuito são ligados um em seguida ao outro, ou seja, R1 segue R2 e R2 segue R3, formando uma fileira de resistores. Esse é o tipo que caracteriza a associação em série de resistores. Para esse exercício ficar bem mais simples não indicamos, por enquanto, nem a voltagem e nem a corrente elétrica do circuito. Indicamos apenas os terminais A e B.

Para determinar o Req (resistor equivalente) dessa associação é muito simples, basta somar as resistências dos resistores associados. Veja como:

$$R_{eq} = R_{1} + R_{2} + R_{3}.$$

Daí, temos que,

$$R_{eq} = 3 + 5 + 7 = 15\Omega.$$

Redesenhando o circuito, obteremos o Req:

Portanto, a resistência do resistor equivalente é igual a 15 ohms.

Observação: esse resistor equivalente (Req), com apenas um resistor, é capaz de substituir a associação dada (com três resistores) na questão. Ele é capaz de produzir o mesmo efeito dos outros três resistores.

2º) Determine a resistência do Req da associação dos resistores, conforme a figura abaixo:

Às vezes, nos livros didáticos, não é indicado os terminais (A e B), mas apenas os pontos nas extremidades do circuito, conforme a figura acima.

Aplicaremos o mesmo procedimento do exercício anterior: basta somar as resistências dos resistores associados. Mas, antes é necessário transformar 3 miliohms em ohms e 4kilohms em ohms. Sabemos que a palavra 'mili' quer dizer 'milésima parte' ou dez elevado a menos 3 e a palavra 'kilo' quer dizer '1000 vezes' ou 10 elevado a 3, portanto,

$$3.10^{-3}\Omega=3.0,001\Omega=0,003\Omega.$$

e

$$4.10^{3}\Omega=4.1000\Omega=4000\Omega.$$

Somando as resistências dos resistores associados, obtemos

$$R_{eq} = R_{1} + R_{2} + R_{3}.$$

Portanto,

$$R_{eq} = 0,003 + 4000 + 5 = 4005,003\Omega.$$

Redesenhando o circuito, temos o Req:

3º) Dada a associação de resistores, conforme figura abaixo, determine a resistência do Req e a intensidade da corrente elétrica em cada resistor.

Note que essa figura é a mesma o exercício 1. Aqui é indicado a corrente elétrica (i) e a voltagem ou diferença de potencial (UA,B = 225 volts) entre os terminais A e B. Essa ddp (diferença de potencial) será útil para o cálculo da intensidade de corrente elétrica (i).

Sabemos do exercício 1 que o Req do circuito que equivale a 

$$R_{eq} = 3 + 5 + 7 = 15\Omega.$$ 

A corrente elétrica (i) que atravessa todos os três resistores será sempre a mesma. Isso é uma característica importante na para associação de resistores em série. Para calcular a corrente elétrica usaremos o termo oriundo da 1ª lei de Ohm (relembre-a em Lei de Ohm - Exercícios resolvidos):

$$U_{A,B}=R_{eq}.i.$$

Daí, obtemos

$$225=15.i\rightarrow i=\frac{225}{15}=15A.$$

Portanto, a intensidade de corrente elétrica do circuito (ou em todos os resistores) equivale a 15 amperes (em inglês) ou 15 ampères (em francês).

Redesenhando o circuito, temos
Note que todo aquele circuito composto por três resistores foi substituído pelo Req capaz de produzir o mesmo efeito dos outros três resistores. Perceba que a corrente elétrica que passa pelo Req é a mesma que passou por cada resistor.

4º) Da questão anterior, calcule a tensão entre os terminais de cada resistor.


Incrementaremos mais ainda nossa figura, pois precisamos visualizar os terminais de cada resistor e batizá-los com qualquer letra. Que tal com a letra C e D?

Sabemos que a intensidade de corrente elétrica é a mesma em todos os resistores. Aplicando o termo oriundo da 1ª lei de Ohm em cada resistor, obtemos

$$U_{A,C}=R_{1}.i\rightarrow U_{A,C}=3.15=45V.$$

 $$U_{C,D}=R_{2}.i\rightarrow U_{C,D}=5.15=75V.$$

  $$U_{D,B}=R_{3}.i\rightarrow U_{D,B}=7.15=105V.$$

Convém observar algo interessante:

$$U_{A,B}=U_{A,C}+  U_{C,D}+ U_{D,B},$$

ou seja, a tensão de toda a associação (no caso, 225V) é igual à soma das tensões em cada resistor (no caso, 45V + 75V + 105V = 225V). Isso é mais uma característica importante da associação de resistores em série.

Bons estudos!

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13 de fevereiro de 2017

A derivada da função logarítmica natural

Função logarítmica naturalNo século XVII o escocês Jonh Napier criou o conceito de logaritmo. A palavra “logaritmo” é originada dos termos gregos “lógos” e “arithmós” que significam, respectivamente, razão e número. O logaritmo de um número é o expoente a que a base, deve ser elevado para produzir este número. As ideias de Napier fundamentou a criação do número de Euler (e). A atual noção de logaritmo é oriunda de Leonhard Euler, que o relacionou com a função exponencial no século XVIII.

A função logarítmica natural é abreviada por ln(x) e chamada de logaritmo natural de x. Geralmente são utilizadas as notações ln(x) para significar loge(x), significando o logaritmo natural de x. Portanto, em vez de escrever a base como e, indicamos o logaritmo da seguinte maneira: loge(x) = ln(x). A base e é um número irracional que equivale aproximadamente 2,718. Não existe logaritmo natural de zero ou de números negativos. Observação: para designar o logaritmo de x na base 10, escreve-se log10(x) ou log(x). No link a seguir você pode aprender mais sobre os logaritmos:


Regra para derivar uma função logarítmica natural


Por definição, a derivada da função logarítmica natural f(x) = ln(x) equivale a f’(x) = 1/x e dado a função f(x) = ln(u), sua derivada será f'(x) = u'/u. Sendo a função logarítmica de base af(x) = loga(x), sua derivada será equivalente a  f’(x) = 1/(x . lna). 

1º) Derive a função de logaritmo natural  f(x) = ln(x).


A derivada de

$$f(x)=ln(x)$$

é definida como

$$f'(x)= \frac{d(ln(x))}{dx} = \frac{1}{x} \cdot$$

Portanto, a derivada da função natural ln(x) equivale a 1/x, sendo que x > 0.

2º) Derive a seguinte função: f(x) = ln(4x + 2).


Para resolver o problema podemos usar a fórmula (I):

$$ \frac{d[ln(u)]}{dx}= \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} \cdot$$

Ou podemos, também, usar a fórmula (II) semelhante:

$$ \frac{d[ln(u)]}{dx}=\frac{\frac{du}{dx}}{u}=\frac{u'}{u}\cdot$$

Em ambas as fórmulas, oriundas da Regra da Cadeia, é exigido que u > 0.

Para resolver o problema, atribuímos a u o seguinte valor:

$$u=4x+2.$$ 

Derivando a expressão acima em relação a x:

$$ \frac{d(u)}{dx}= \frac{d(4x+2)}{dx}= \frac{d(4x)}{dx}+ \frac{d(2)}{dx}=4+0=4.$$

Substituindo o valor de u (4x + 2) e de du/dx (4) na fórmula (I), obteremos:

$$ \frac{d[ln(4x+2)]}{dx}= \frac{1}{4x+2} \cdot4 = \frac{4}{4x+2} \cdot$$

Podemos simplificar o resultado, dividindo o numerador e o denominador por 4 e obter

$$ \frac{d[ln(4x+2)]}{dx}= \frac{2}{2x+1}\cdot$$

3º) Derive a seguinte função: f(x) = ln(4x/7).


Atribuímos a u o seguinte valor:

$$u=\frac{4x}{7}\cdot$$

Derivando a expressão acima em relação a x:

$$ \frac{d(u)}{dx}= \frac{d( \frac{4x}{7})}{dx}= \frac{4}{7}.$$

Substituindo o valor de u (4x/7) e de du/dx (4/7) na fórmula (I), obteremos:

$$ \frac{d[ln(\frac{4x}{7})]}{dx}= \frac{1}{\frac{4x}{7}} \cdot \frac{4}{7} =\frac{7}{4x}\cdot\frac{4}{7}=\frac{1}{x}\cdot$$

4º) Derive a seguinte função: f(x) = ln (x2).


Atribuímos a u o seguinte valor:

$$x^{2}.$$ 

Derivando a expressão acima em relação a x:

$$ \frac{d(u)}{dx}= \frac{d(x^{2})}{dx}= 2x.$$

Substituiremos, dessa vez, o valor de u (x2) e de du/dx (2x) na fórmula (II):

 $$ \frac{d[ln(u)]}{dx}= \frac{\frac{du}{dx}}{u}= \frac{u'}{u}\cdot$$

Portanto, obteremos:

$$ \frac{d(ln (x^{2}))}{dx}= \frac{2x}{ x^{2}}= \frac{2}{x}\cdot$$

5º) Derive a seguinte função: f(x) = y = ln (x2 + 3).


Atribuímos a u o seguinte valor:

$$x^{2}+3.$$ 

Portanto,

$$f(x) = y=ln (u).$$

Para resolver o problema, podemos também usar diretamente a fórmula da regra da cadeia:

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}\cdot$$

Substituiremos os valores atribuídos a y e a u na regra para obtermos as suas respectivas derivadas:

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{d[ln (u)]}{du}\frac{d[x^{2}+3]}{dx}=\frac{1}{u}\cdot2x=\frac{2x}{u}=\frac{2x}{x^{2}+3}\cdot$$

Portanto,

$$ \frac{d[ln(x^{2}+3)]}{dx}= \frac{u'}{u}= \frac {2x}{x^{2}+3}\cdot $$

Derive as seguinte funções:

  • f(x) = ln(2x + 1).
  • f(x) = ln(2x/3).
  • f(x) = ln (x10).
  • f(x) = y = ln (x5 + 2).
Bons estudos.
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1 de março de 2015

Obtenha um curso de Cosmologia gratuito e com certificado

Curso de Cosmologia
O Observatório Nacional (ON) sempre disponibiliza à sociedade cursos on-line gratuitos e com certificados em áreas de Astronomia, Astrofísica, Geofísica, etc. O ON se esforça e participa efetivamente do movimento de Inclusão Social no Brasil por meio da popularização da ciência. A Divisão de Atividades Educacionais (DAED) do Observatório é o setor que planeja, organiza, elabora e implementa projetos por meio de divulgação e de produção de materiais didáticos. Mediante a DAED, pesquisadores do ON colaboram com a transmissão de seus conhecimentos científicos nas áreas de Cosmologia e Astronomia a várias escolas por meio de palestras e cursos e com o intuito de maior integração entre professores e alunos.

CURSO DE COSMOLOGIA  GRATUITO

A boa novidade do Observatório Nacional para esse mês (março de 2015) é a inscrição para o curso on-line, gratuito e à distância intitulado: "Cosmologia: Da origem ao fim do universo". Ao final do curso o aluno pode receber um certificado.

O curso está previsto para iniciar no dia 09 de março de 2015 a 10/08/2015. As inscrições podem ser feitas mediante um cadastro rápido na plataforma Moodle do DAED no seguinte endereço:


Mais informações neste SITE.

Inscreva-se e bons estudos!

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27 de fevereiro de 2015

Aprenda a magnífica técnica de derivar um vetor

Produto interno
Antes de aprendermos a magnífica técnica de derivar um vetor em relação a uma dada variável é necessário que o aluno recorde alguns tópicos bem fáceis do Cálculo Vetorial. Tentaremos revisar esses tópicos de maneira bem interessante para que o aluno se sinta seguro em prosseguir neste interessante tema. Os assuntos tratados aqui, sobre vetores, não são novidades, apenas recordaremos algumas técnicas que os envolvem, pois com o passar do tempo o estudante, devido a outras atividades profissionais, pode esquecê-los.

Portanto, resumiremos sobre alguns tópicos importantes sobre vetores no espaço bidimensional e tridimensional, componentes escalares e vetoriais, vetores unitários ou versores, produto escalar ou produto interno. Depois, chegaremos na magnífica técnica de derivação de um vetor em relação a uma variável x e da derivação do produto escalar. No final do estudo são lançados e respondidos quatro questões para fixar mais o aprendizado do aluno sobre o tema.

Sabemos que os vetores são assuntos presentes em todos os estudos que envolvem as Ciências Exatas, por isso abra sua mente e tenha um profundo interesse e dedicação neste tema. Os leitores deste blog residentes no Brasil, Angola, Portugal, Índia, França, nas Américas e em toda a Europa que recebem estes estudos via e-mail não conseguirão ver as equações em um formato elegante, por isso precisam acessar as postagens pelos seus navegadores Firefox, IE, Chrome e outros. Bons estudos!

VISUALIZAÇÃO DE UM VETOR EM DUAS DIMENSÕES


As figuras a seguir foram inseridas apenas para você visualizar e recordar sobre um vetor e suas componentes. Inicialmente, vamos considerar um vetor A, no espaço bidimensional, de acordo com a figura abaixo. O vetor A possui componentes escalares, dadas por Ax e Ay e componentes vetoriais, dadas por Axi e Ayj, que atuam nas direções positivas dos versores i e j. Os versores são vetores unitários e ortogonais. Possuem características interessantes de serem fixos no espaço e não variar com o tempo.

Vetores em 2D
Estamos interessados nas componentes vetoriais do vetor A, que de acordo com a figura é dada por

$$\vec{A}=A_{x}\hat{i}+A_{y}}{\hat{j}.$$

VISUALIZAÇÃO DE UM VETOR EM TRÊS DIMENSÕES


Agora, vamos considerar um vetor A, no espaço tridimensional, de acordo com a figura abaixo. Dessa vez, o  vetor A possui componentes escalares, dadas por  Ax e Ay e Ax e componentes vetoriais dadas por Axi, Ayj e Ayz. Observe que as componentes do vetor A também são atuantes nas direções positivas dos versores cartesianos unitários e positivos i, j, k.

Vetores 3D

Estamos interessados nas componentes vetoriais do vetor A, que de acordo com a figura é expressada por

$$\vec{A}=A_{x}\hat{i}+A_{y}}{\hat{j}+A_{z}}{\hat{k}}.$$

O PRODUTO ESCALAR ENTRE VETORES


Já estamos um pouco familiarizados com o conceito de produto escalar ou produto interno entre dois vetores: obtemos um pequena noção sobre produto interno no estudo intitulado O Delta de Kronecker, a partir da página 2.

Para iniciarmos nosso trabalho com os vetores vamos optar por representá-los por duas letras gregas, no caso, pela letra alfa e por beta. Sabemos que o produto escalar é definido como:

$$\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} =|\vec{\alpha}||\vec{\beta}|cos\theta.$$

Igualando o ângulo a 0º, seu cosseno se igualará a 1 e a expressão acima torna-se

$$\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} =|\vec{\alpha}||\vec{\beta}|.$$

Vimos, de acordo com a última figura, que no sistema de coordenadas cartesianas os vetores podem ser especificados pelas suas respectivas componentes vetoriais, nesse caso, por:

$$\vec{\alpha} =\alpha_{x}\hat{i}+\alpha_{y}}{\hat{j}+\alpha_{z}}{\hat{k}$$

e por

$$\vec{\beta} =\beta_{x}\hat{i}+\beta_{y}}{\hat{j}+\beta_{z}}{\hat{k}.$$

PRODUTO ESCALAR EM FUNÇÃO DAS COMPONENTES VETORIAIS


O cálculo do produto escalar destes vetores em função das suas componentes pode ser efetuado da seguinte maneira:

$$\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}=(\alpha_{x}\hat{i}+\alpha_{y}\hat{j}+\alpha_{z}}{\hat{k})(\beta_{x}\hat{i}+\beta_{y}}{\hat{j}+\beta_{z}}{\hat{k}).$$

Utilizando as seguintes propriedades dos versores

$$\hat{i}\cdot \hat{i}=\hat{j}\cdot \hat{j}=\hat{k}\cdot \hat{k}=1$$

e

$$\hat{i}\cdot \hat{j}=\hat{i}\cdot \hat{k}=\hat{j}\cdot \hat{k}=0,$$

podemos multiplicar cada termo das componentes vetoriais do vetor alfa

$$(\alpha_{x}\hat{i}+\alpha_{y}}{\hat{j}+\alpha_{z}}{\hat{k})$$

por cada termo das componentes vetoriais do vetor beta

$$(\beta_{x}\hat{i}+\beta_{y}}{\hat{j}+\beta_{z}}{\hat{k}),$$

com o intuito de obter a expressão do produto interno como um número real (um escalar) e obtermos para o espaço tridimensional a seguinte expressão:

$$\vec{\alpha}\cdot \vec{\beta}=\alpha_{x}\beta_{x}+\alpha_{y}\beta_{y}+\alpha_{z}\beta_{z}.$$

E, para o espaço bidimensional, a relação acima se reduz a

$$\vec{\alpha}\cdot \vec{\beta}=\alpha_{x}\beta_{x}+\alpha_{y}\beta_{y}.$$

CÁLCULO DA DERIVADA DE UM VETOR


Dado um vetor

$$\vec{\alpha}=\alpha_{x}\vec{i}+\alpha_{y}\vec{j}++\alpha_{z}\vec{k},$$

sua derivada em relação a variável x pode ser dada por:

$$\frac{d{\vec{\alpha}}}{dx}=\frac{d\alpha_{x}}{dx}\vec{i}+\frac{d\alpha_{y}}{dx}\vec{j}+\frac{d\alpha_{z}}{dx}\vec{k}.$$

Para o espaço bidimensional a relação acima se reduz a

$$\frac{d{\vec{\alpha}}}{dx}=\frac{d\alpha_{x}}{dx}\vec{i}+\frac{d\alpha_{y}}{dx}\vec{j}.$$

A seguir, vamos praticar o que aprendemos até aqui por meio de exercícios.

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1


SetaDerive o seguinte vetor em relação a x:

$$\vec{\alpha}= 2x^{2}\vec{i}+x^{2}\vec{j}.$$

A derivada do vetor em relação a variável x pode ser dada por:

$$\frac{d{\vec{\alpha}}}{dx}=\frac{d(2x^{2}\vec{i}+{x^{2}\vec{j})}}{dx}=4x\vec{i}+2x\vec{j}.$$

SetaCalcule o valor desta derivada no ponto x = 1.

Basta substituir o x por 1 e temos que

$$\frac{d{\vec{\alpha}}}{dx}= 4.1\vec{i}+2.1\vec{j} =4\vec{i}+2\vec{j}.$$

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 2


SetaDerive o seguinte vetor em relação a x:

$$\vec{\beta}= 6x^{3}\vec{i}+4x^{2}\vec{j}-2x\vec{k}.$$

A derivada do vetor em relação a variável x pode ser dada por:

$$\frac{d{\vec{\beta}}}{dx}=\frac{d(6x^{3}\vec{i}+4x^{2}\vec{j}-2x\vec{k})}{dx}=18x^{2}\vec{i}+8x\vec{j}-2\vec{k}.$$

SetaCalcule o valor desta derivada no ponto x = 1.

Basta substituir o x por 1 e temos que

$$\frac{d{\vec{\beta}}}{dx}=18x^{2}\vec{i}+8x\vec{j}-2\vec{k}=18\vec{i}+8\vec{j}-2\vec{k}.$$

CÁLCULO DA DERIVADA DE UM PRODUTO ESCALAR


Já estudamos um pouco sobre a derivada do produto usando o método usual no estudo intitulado  Como calcular facilmente a derivada do produto. Pois bem, o método usual para a derivada do produto é análoga à da derivada de um produto escalar e pode ser obtida mediante a seguinte regra:

$$\frac{d}{dx}(\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta})=\vec{\alpha} \cdot \frac{d{\vec{\beta}}}{dx}+\frac{d{\vec{\alpha}}}{dx}\cdot \vec{\beta}$$

A seguir, vamos praticar o que aprendemos na teoria por meio de exercícios.

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 3


Seta
Considere os vetores

$$\vec{\alpha}= 2x\vec{i}+2x^{2}\vec{j}$$

e

$$\vec{\beta}= 3x^{2}\vec{i}-2x^{2}\vec{j}.$$

Derive o produto escalar entre esses vetores.

Aplicando a regra de derivação de um produto escalar, temos que

$$\frac{d}{dx}(\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta})=\vec{\alpha} \cdot \frac{d{\vec{\beta}}}{dx}+\frac{d{\vec{\alpha}}}{dx}\cdot \vec{\beta}.$$

Calculando a derivada do vetor alfa

$$\frac{{d\vec{\alpha}}}{dx}=2\vec{i}+4x\vec{j}.$$

Calculando a derivada do vetor beta

$$\frac{{d\vec{\beta}}}{dx}=6x\vec{i}+4x\vec{j}.$$

Substituindo esses valores na expressão da regra do produto interno, temos

$$\frac{d}{dt}(\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta})=\vec{\alpha} \cdot (6x\vec{i}+4x\vec{j})+(2\vec{i}+4x\vec{j})\cdot \vec{\beta}.$$

Portanto,

$$\frac{d}{dt}(\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta})=(2x\vec{i}+2x^{2}\vec{j}) \cdot (6x\vec{i}+4x\vec{j})+(2\vec{i}+4x\vec{j})\cdot (3x^{2}\vec{i}-2x^{2}\vec{j}),$$

equivale a:

$$\frac{d}{dt}(\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta})=18x^{2}-16x^{3}.$$

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 4


SetaCalcule por outro método o produto escalar dos vetores do exercício anterior.

Podemos fazer esta operação do seguinte modo:

Inicialmente, fazer o produto escalar do vetor alfa com o vetor beta:

$$(\vec{\alpha}\cdot\vec{\beta})=(2x\vec{i}+2x^{2}\vec{j})(3x^{2}\vec{i}-2x^{2}\vec{j})=6x^{3}-4x^{4}.$$

Depois, derivar o resultado em relação a x e encontraremos novamente o resultado

$$\frac{d(6x^{3}-4x^{4})}{dx}=18x^{2}-16x^{3}.$$

CONTINUE APRENDENDO


BulletViu como foi fácil derivar um vetor? Agora é sua vez de fazer a sua parte, repetindo os cálculos feitos por aqui no seu caderno, lendo mais nos livros didáticos ou na rede sobre vetores unitários, regras de derivação de vetores, componentes vetoriais e produto escalar. Espero que este estudo ajude você de alguma maneira. Se ajudou comente aí. Se você estiver gostando do meu trabalho, recomende-o para os colegas e amigos de escolas e de universidades. Obrigado pela paciência e sucesso para você.

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23 de fevereiro de 2015

Calcule quantos números pares existem entre 100 e 1000

Números Pares
É muito fácil quantificar os números pares existentes, por exemplo, de 4 até 10. Basta raciocinar um pouco e percebemos os quatro números: 4, 6, 8 e 10, cuja soma resulta em 28. Agora, se quisermos obter a quantidade de pares existentes entre 4 e 10 vamos perceber que existem apenas dois pares: 6 e 8, cuja soma resulta em 14. Porém, se nos perguntarem quantos pares existem entre 0 e 100 ou entre 100 e 1000 ou mesmo entre 0 e 1 trilhão? Aí precisamos usar um recurso muito importante da matemática, a Progressão Aritmética (PA). Sabemos que uma PA é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido adicionando-se a razão (r) ao termo anterior. Ao final desta aula o aluno deverá ser capaz de identificar a quantidade e a soma dos números pares existentes entre 0 e 8, 0 e 10, 0 e 20, 0 e 100 e entre 100 e 1000 (com elaboração de um algoritmo). Neste estudo vamos utilizar nossos conhecimentos sobre Progressão Aritmética por meio de aplicação de algumas fórmulas oriundas do estudo de sequências numéricas.

IDENTIFICAÇÃO DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA ENTRE ZERO E DEZ


Para identificarmos as partes de uma Progressão Aritmética (PA) vamos, inicialmente, considerar a sequência com os seguinte números pares:

$$(0,2,4,6,8).$$

Queremos trabalhar com uma sequência que contém apenas os pares que estão entre 0 e 8:

$$(2,4,6).$$

O primeiro termo (a1) equivale a 2. A razão (constante r) também equivale a 2 (pois, 4 - 2 = 6 - 4 = 2). O último (terceiro) termo (an = a3) equivale a 6. O número de termos (n), conferindo-os, equivale a 3.

Também podemos identificar o terceiro e último termo (an = a3) usando a seguinte fórmula:

$$a_{3}=a_{1}+2.r,$$

que resulta em

$$a_{3}=2+2.2=2+4=6.$$

Se a sequência for muito grande, impossibilitando-nos de conferir a quantidade de números da mesma, pode-se determinar o número de termos (n = 3) da sequência usando a fórmula do termo geral de uma PA:

$$a_{n}=a_{1}+(n-1).r.$$

Substituindo os valores na expressão acima, temos que

$$6=2+(n-1).2,$$

de onde podemos calcular n:

$$6=2+2n-2\rightarrow 6-2+2=2n\rightarrow 6=2n\rightarrow n=3.$$

Para obtermos a soma de todos os três pares da sequência, podemos usar a fórmula:

$$S_{n}= \frac{(a_{1}+a_n)n}{2},$$

que resulta em 

$$S_{3}= \frac{(2+6).3}{2}=\frac{8.3}{2}=12.$$

Portanto, entre 0 e 8 temos 3 pares e somando-os obteremos 12.

SOMA E QUANTIDADE DE PARES EXISTENTES ENTRE ZERO E DEZ


Vamos considerar uma sequência apenas com os pares que estão entre 0 e 10, veja:

$$(2,4,6,8).$$

O primeiro termo (a1) equivale a 2. A razão (constante r) equivale a 2. Contando o número de termos (n) obtemos 4. O quarto termo (an = a4) equivale a 8. Podemos, também, identificar o quarto termo usando a seguinte fórmula:

$$a_{4}=a_{1}+3.r,$$

que resulta em

$$a_{4}=2+3.2=2+6=8.$$

Se a sequência for muito grande, impossibilitando-nos de conferir a quantidade de números da mesma, pode-se determinar o número de termos (n = 4) da sequência usando a fórmula do termo geral de uma PA:

$$a_{n}=a_{1}+(n-1).r.$$

Substituindo os valores na expressão acima, temos que

$$8=2+(n-1).2,$$

de onde podemos calcular n:

$$8=2+2n-2\rightarrow 8-2+2=2n\rightarrow 8=2n\rightarrow n=4.$$

 Para obtermos a soma de todos o quatro pares da sequência, podemos usar a seguinte fórmula:

$$S_{n}= \frac{(a_{1}+a_n)n}{2},$$

que nos forneceria

$$S_{4}= \frac{(2+8).4}{2}=\frac{10.4}{2}=20.$$

De fato, 2 + 4 + 6 + 8 = 20.

Portanto, entre 0 e 10 temos 4 pares e somando-os obteremos 20.

SOMA E QUANTIDADE DE PARES EXISTENTES ENTRE ZERO E VINTE


Vamos considerar a sequência apenas com os pares que estão entre 0 e 20, veja:

$$(2,4,6,8,10,12,14,16,18).$$

O primeiro termo (a1) equivale a 2. A razão (constante r) equivale a 2 (pois, 4 - 2 = 6 - 4  = 2). O último (nono) termo (an = a9) equivale a 18. O número de termos (n), conferindo-os, equivale a 9.

Outra maneira de identificar o nono termo - usando a seguinte fórmula:

$$a_{9}=a_{1}+8.r,$$

que resulta em

$$a_{9}=2+8.2=2+16=18.$$

Se não quisermos conferir os números da sequência para determinar o número de termos (n = 9) da PA, basta usar a fórmula do termo geral:

$$a_{n}=a_{1}+(n-1).r.$$

Substituindo os valores dados na expressão acima, temos que

$$18=2+(n-1).2,$$

de onde podemos calcular n:

$$18=2+2n-2\rightarrow 18-2+2=2n\rightarrow 18=2n\rightarrow n=9.$$

Para obtermos a soma de todos os nove pares da sequência, podemos usar a fórmula:

$$S_{9}= \frac{(a_{1}+a_n)n}{2},$$

que nos fornece

$$S_{9}= \frac{(2+18).9}{2}=\frac{20.9}{2}=90.$$

De fato, 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 = 90.

Portanto, entre 0 e 20 temos 9 pares e somando-os obteremos 90.

Agora você está apto para obter a

SOMA E QUANTIDADE DE PARES EXISTENTES ENTRE ZERO E CEM


Esse foi um dos desafios proposto na postagem Aprenda a executar algoritmos básicos, onde foi ensinado a escrever um algoritmo bem simples e interessante que determina a soma dos números pares compreendido entre 0 e 8 (que está resolvido no início deste estudo). O algoritmo ensinado na referida postagem é semelhante ao algoritmo que vamos propor no final deste tópico.

Vamos considerar a sequência apenas com os pares que estão entre 0 e 100. O primeiro par depois de zero é 2 e o último par antes de 100 é 98. Portanto, nossa PA pode ser escrita da seguinte maneira:

$$(2,4,6,...,98).$$

O primeiro termo (a1) equivale a 2. A razão (constante r) equivale a 2 (pois, 4 - 2 = 6 - 4 = 2). O último termo (an = a98) equivale a 98. O número de termos (n) da PA é muito grande para conferirmos, portanto, para achá-lo, podemos usar a fórmula do termo geral de uma PA:

$$a_{n}=a_{1}+(n-1).r.$$

Substituindo os valores na expressão acima, temos que

$$98=2+(n-1).2,$$

de onde podemos calcular n:

$$98=2+2n-2\rightarrow 98-2+2=2n\rightarrow 98=2n\rightarrow n=49.$$

Note que a PA dada possui 49 termos pares, portanto an = a49 equivale a 98.

Outra maneira de identificar o quadragésimo nono termo da PA é com o auxílio da  seguinte fórmula:

$$a_{49}=a_{1}+48.r,$$

que resulta em

$$a_{49}=2+48.2=2+96=98.$$

Para obtermos a soma de todos os 98 pares da sequência, podemos usar a fórmula:

$$S_{98}= \frac{(a_{1}+a_n)n}{2},$$

que nos fornece

$$S_{98}= \frac{(2+98).49}{2}=\frac{100.49}{2}=2450.$$

Portanto, entre 0 e 100 temos 49 pares e somando-os, obteremos 2450.

Finalmente, já estamos apto a resolver o desafio de obter a

SOMA E QUANTIDADE DE PARES EXISTENTES ENTRE CEM E MIL


Esse foi o principal desafio proposto na postagem anterior. Vamos considerar a sequência apenas com os pares que estão entre 100 e 1000. O primeiro par depois de cem é 102 e o último par antes de 1000 é 998. Portanto, nossa PA será escrita da seguinte maneira:

$$(102,104,...,998).$$

O primeiro termo (a1) equivale a 102. A razão (constante r) equivale a 2 (pois, 104 - 102 = 2). O último termo (an = a998) equivale a 998. O número de termos (n) da PA é muito grande para conferirmos, portanto, para achá-lo, podemos usar a fórmula do termo geral de uma PA:

$$a_{n}=a_{1}+(n-1).r.$$

Substituindo os valores na expressão acima, temos que

$$998=102+(n-1).2,$$

de onde podemos calcular n:

$$998=102+2n-2\rightarrow 998-102+2=2n\rightarrow 898=2n\rightarrow n=449.$$

Note que a PA dada possui 449 termos pares, portanto an = a449 equivale a 998.

Uma outra maneira de identificar esse último termo (998) da PA é utilizando a seguinte fórmula:

$$a_{449}=a_{1}+448.r,$$


que resulta em

$$a_{449}=102+448.2=102+896=998.$$

Para obtermos a soma de todos os 449 pares da sequência, podemos usar a fórmula:

$$S_{n}= \frac{(a_{1}+a_n)n}{2},$$

que nos fornece

$$S_{998}= \frac{(102+998).449}{2}=\frac{1100.449}{2}=246950.$$

Portanto, entre 100 e 1000 temos 449 pares e somando-os, obteremos 246950. Estude, copie, cole e execute o algoritmo abaixo no seu VisualG, comparando-o com o modelo de algoritmo da postagem anterior.
algoritmo "Soma de números pares entre 100 e 1000"
// Função : Escrever um algoritmo para determinar a soma
// dos pares compreendido entre 100 e 1000
// Autor : Elísio
// Data : 23/02/2015
// Sessão de Declarações
var
a1: real
an: real
n: real
r: real
sn: real
inicio
// Sessão de Comandos
a1 <- 102 // Primeiro termo a1 torna-se 102.
an <- 998 // Último termo an torna-se 998.
r <- 2 // Razão r torna-se 2.
n <- (an - a1)/r + 1 //Fórmula do termo geral da PA ==> n isolado
sn <- (a1 + an)*n/2 //Fórmula da soma dos pares
escreval("A Quantidade de pares entre 100 e 1000 equivale a: ", n)
escreval("A soma dos pares entre 100 e 1000 equivale a: ", sn)
fimalgoritmo

Espero que tenham gostado deste tópico. Obrigado pela paciência. Se este trabalho o ajudou, comente e compartilhe com os colegas. Bons estudos!

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2 de fevereiro de 2015

Como aprender a executar algoritmos básicos

Logo Visualg
O Visualg (Visualizador de Algoritmo) se caracteriza por possuir a capacidade de editar, interpretar e executar algoritmos de níveis básicos e intermediários. É um programa bem simples de usar, pois sua linguagem é bem parecida com o "portugol", um tipo de linguagem onde seus algoritmos podem ser escritos em algo parecido com um português estruturado. Portanto, princípios básicos de programação estruturada podem ser ensinados mediante essa eficiente ferramenta. O VisuAlg é um programa bem leve, pois sua instalação exige cerca de 1 MB de espaço em disco e pode ser executado na versão do Windows 95 ou posterior.

A TELA PRINCIPAL DO VISUALG


Ao trabalhar com o Visualg o usuário poderá atentar para os detalhes de sua tela principal que é composta por uma barra de tarefas, editor de textos, quadro de variáveis, simulador de saída e barra de status. Quando o Visualg é aberto, logo é apresentado um pseudocódigo com um formato básico, já pronto para ser trabalhado pelo usuário, conforme a figura abaixo:

Visualg

A VERSÃO ATUAL DO VISUALG


Até a presente postagem, o programa (visualg-setup.exe) encontra-se em sua versão 2.0 e pode ser baixado gratuitamente no site do Visualg. Para aprender muito mais sobre o Visualizador de algoritmos acesse Linguagem do Visualg.

Após você instalar o Visualg em seu computador, poderá acessá-lo por meio de um atalho, que será criado em seu desktop,  cujo nome será "Visualg (Versão 2)".

RODANDO UM ALGORITMO NO VISUALG


Para você se familiarizar com o programa, vamos rodar o nosso primeiro algoritmo no Visualg. É um algoritmo bem simples e interessante que determina a soma dos números pares compreendido entre 0 e 8. Depois poderá fazer outros algoritmos que determinem a soma dos pares entre 0 e 4, entre 0 e 6, etc. Depois que você estudar como esse algoritmo é executado no Visualg, estará apto para elaborar outro, mais complexo, que determine a soma dos números pares compreendidos entre 100 e 1000.

Vamos começar acessando o Visualg e apagando o pseudocódigo que aparece em sua tela inicial. Depois, copie e cole para o Visualg o seguinte algoritmo:

 algoritmo "Soma de números pares"
// Função : Escrever um algoritmo para determinar a soma
// dos pares compreendido entre 0 e 8
// Autor : Elísio
// Data : 01/02/2015
// Sessão de Declarações
var
soma: inteiro
par: inteiro
cont: inteiro
inicio
// Sessão de Comandos
soma <- 0 // zera a soma
par <- 2 // inicia com o primeiro par maior que 8.
cont <- 0 // inicia contador com zero.
enquanto par <8 faca
soma <- soma + par
cont <- cont +1
par <- par + 2
fimenquanto
escreval("A soma dos pares entre 0 e 8 equivale a: ", soma)
fimalgoritmo

Obs.: Após você criar um diretório em sua máquina com um nome qualquer, como sugestão: "TreinoVisualg", salve o algoritmo com um nome qualquer para dentro dessa pasta. Como sugestão, salve-o com o nome "Algorit1". Após salvá-lo ele ficará com a seguinte extensão: "Algorit1.alg". É interessante que o código também pode ser editado por meio do editor Notepad++.

Após colar o código acima no Visualg, execute o algoritmo com o auxílio da tecla F9 e terá como resposta algo parecido com a figura:

CMS Visualg

INCREMENTANDO O ALGORITMO NO VISUALG


Sabemos que entre 0 e 8 existem três números pares (2, 4 e 6), que a soma desses números equivale a (2 + 4 + 6 ) 12 e que a condição de parada de execução do algoritmo acontece quando a variável "par" se iguala 8. Enquanto a variável "par" for menor do que 8 é executado tudo que está entre os comandos "enquanto" e "fim enquanto". Quando a variável "par" se igualar a 8, termina as execuções desses comandos e é mostrado na tela o conteúdo da variável "soma". Para melhor entendimento do algoritmo, que tal visualizarmos o conteúdo das variáveis "soma", "cont" e "par"? Para isso vamos acrescentar no algoritmo, depois do comando "fimenquanto", mais duas linhas, veja:

 algoritmo "Soma de números pares"
// Função : Escrever um algoritmo para determinar a soma
// dos pares compreendido entre 0 e 8
// Autor : Elísio
// Data : 01/02/2015
// Sessão de Declarações
var
soma: inteiro
par: inteiro
cont: inteiro
inicio
// Sessão de Comandos
soma <- 0 // zera a soma
par <- 2 // inicia com o primeiro par maior que 8.
cont <- 0 // inicia contador com zero.
enquanto par <8 faca
soma <- soma + par
cont <- cont +1
par <- par + 2
fimenquanto
escreval("A soma dos pares entre 0 e 8 equivale a: ", soma)
escreval("Quantidade de números pares entre 0 e 8 equivale a: ", cont)
escreval("Finalizou quando a variável 'par' se igualou a : ", par)
fimalgoritmo

Agora copie e cole o código acima para o Visualg. Execute o algoritmo com o auxílio da tecla F9 e terá como resposta algo parecido com a figura:

Tela execução Visualg

Você poderá também executar o algoritmo, Passo a Passo, com o auxílio da tecla F8. Poderá executá-lo com timer usando a combinação das teclas Shift+F9. Como atividade, que tal você criar um algoritmo semelhante a este (ou por meio de Progressão Aritmética) que determina a soma e a quantidade de números pares existentes entre 0 e 100?

DESAFIO PROPOSTO


Desafio proposto para você: escrever um algoritmo para determinar a soma dos pares compreendido entre 100 e 1000. Use o mesmo algoritmo, apenas carregue "Soma" com 0, "Par" com 102 e "Cont" com 0. Certamente você vai obter a soma dos pares equivalente a 246950, a quantidade de pares equivalente a 449 e condição de parada quando a variável "par" se igualar a 1000. Espero que tenha gostado do estudo. Em breve vamos implementar os algoritmos estudados em uma linguagem de programação. Bons estudos!

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18 de janeiro de 2015

Aprenda a identificar um circuito elétrico aberto e fechado

Circuito elétrico simples fechado
Ao final desta aula o aluno deverá ser capaz de identificar alguns símbolos das partes de um circuito elétrico simples, diferenciar e representar circuitos elétricos simples abertos e fechados e visualizar o sentido real e convencional da corrente elétrica. Já sabemos que uma corrente elétrica é estabelecida sempre que entre dois pontos de um material condutor existir uma tensão elétrica ou diferença de potencial (desnível elétrico). O maior nível ou maior potencial elétrico corresponde ao pólo positivo e o menor nível ou menor potencial elétrico corresponde ao menor potencial. Porém, para que os elétrons livres possam se mover ordenadamente de um potencial a outro é necessário que haja um caminho (chamado de circuito elétrico) que pode ser aberto ou fechado.

CIRCUITO ELÉTRICO ABERTO

O circuito elétrico aberto se caracteriza por uma interrupção nos fios de ligação do circuito que constitui o caminho a ser percorrido pela corrente elétrica. Observe a figura:

Circuito elétrico aberto

Note pela figura que existe um desnível elétrico na bateria (pilha), ou seja, um potencial maior (representado pelo pólo positivo e um potencial menor (representado pelo pólo negativo). Convenciona-se que a corrente elétrica percorre no sentido do maior potencial (pólo +) para o menor potencial (pólo -). Porém, ao tentar percorrer nesse sentido, pelos fios de ligação, a corrente elétrica é impedida por uma chave que está aberta. O resultado é que a lâmpada não recebe corrente elétrica, portanto, não acende. Esse circuito pode ser representado da seguinte forma:

Representação de um circuito elétrico aberto

CIRCUITO ELÉTRICO FECHADO

Na figura a seguir, a corrente elétrica percorre do sentido pólo + para o pólo -, pelos fios de ligação, sem impedimento nenhum, pois a chave está fechada (ela une os fios de ligação). O resultado é que a lâmpada recebe a corrente elétrica e acende. Veja figura:

Circuito elétrico fechado

Veja como esse circuito pode ser representado:

Representação de um circuito elétrico fechado

SÍMBOLOS DAS PARTES DE UM CIRCUITO ELÉTRICO

Não podemos esquecer das partes do circuito elétrico bem simples visto nesta aula. Elas podem ser representadas pelos seguintes símbolos:

Símbolos de um circuito elétrico

SENTIDO REAL DA CORRENTE ELÉTRICA

Nos condutores metálicos a corrente elétrica é constituída por um movimento ordenado de elétrons, conhecidos como elétrons livres. Atualmente sabemos que os elétrons, que são portadores de cargas negativas, realmente se movimentam do pólo negativo para o pólo positivo de um gerador. É o chamado sentido real da corrente elétrica.
Sentido real da corrente elétrica

SENTIDO CONVENCIONAL DA CORRENTE ELÉTRICA

Antes da descoberta do elétron (1827) pelo físico britânico Joseph John Thomson, os pesquisadores acreditavam que o sentido da corrente elétrica iniciava-se do pólo positivo ao pólo negativo de um gerador. Segundo os pesquisadores da época, o movimento era realizado pelas cargas positivas. Até hoje é chamado de sentido convencional da corrente elétrica. Nos livros de Física, para melhor se entender os exercícios e situações-problemas, foi adotado o sentido convencional da corrente elétrica onde a corrente elétrica circula dos pontos de maior potencial (pólo positivo) para os pontos de menor potencial(pólo negativo). Também, convém notar que, do ponto de vista macroscópio, não há qualquer diferença entre o movimento de cargas positivas no sentido convencional e o de negativas no sentido real.
Sentido convencional da corrente elétrica

Esse estudo ajudou você? Comente aí. Sucesso e bons estudos!

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