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3 de outubro de 2014

Como calcular facilmente a derivada do produto


Função exponencial
Na universidade o aluno precisa dar conta de todos os conteúdos ministrados pelo professor em sala de aula. Além disso, existem diversas disciplinas para estudar, diversos trabalhos e artigos para confeccionar e seminários para apresentar. No Cálculo o aluno tem que ralar, a não ser que venha com uma ótima bagagem do Ensino Médio, o que hoje em dia é muito raro acontecer. Para ajudar na parte de Cálculo, proponho um método muito fácil para obtermos a resolução da derivada do produto. Vamos tentar resolver pelos dois métodos, o método fácil e o método usual que também não é difícil. lembrando que as equações da aula são feitas no programa Latex e podem ser melhores visualizadas com o navegador Firefox. Bons estudos!

Derivada do produto - primeiro método

Encontrar a derivada da seguinte expressão
 

$$f(x) = (2x+1)(2x^2+2).$$


A expressão acima pode ser escrita como
 

$$f(x) = y = (2x+1)(2x^{2}+2).$$


Multiplique cada termo do primeiro polinômio


$$(2x+1)$$


por cada termo do segundo polinômio


$$(2x^{2}+2)$$.


Veja como:


$$y=2x.2x^2+2x.2+1.2x^2+1.2=4x^3+4x+2x^2+2.$$


Arrumando a expressão acima temos
 

$$y= 4x^3 + 2x ^2+ 4x +2.$$


Derivando normalmente a expressão acima, temos que
 

$$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{d\left[4x^3 + 2x ^2+ 4x+ 2\right]}{dx}$$
 

$$=12x^2+4x^1+4+0=12x^2+4x+4.$$


Portanto,

$$\frac{dy}{dx}=12x^2+4x+4.$$

Derivada do produto - método usual

Vamos utilizar a regra usual, a regra do produto, e calcular a derivada da mesma função. A regra é a seguinte:   


$$y'=uv'+vu'$$

 ou


$$\frac{dy}{dx}=u\cdot\frac{dv}{dx}+v\cdot\frac{du}{dx}.$$


Substituindo as funções na regra, temos
 

$$\frac{dy}{dx}=(2x + 1)\cdot\frac{d(2x ^2+2)}{dx}+(2x ^2+2)\cdot\frac{d(2x + 1)}{dx},$$


que equivale a  


$$\frac{dy}{dx}=(2x + 1)\cdot(4x^1 + 0)+(2x ^2+2)\cdot(2 + 0)$$
 

$$=(2x + 1)\cdot4x+(2x ^2+2)\cdot2$$
 

$$=8x^2 + 4x+4x^2+4,$$

ou seja, obtemos a mesma resposta do método anterior. A expressão acima equivale a:
  
Mãozinha tchau
 
$$= 12x^2 + 4x +4.$$

Bons estudos!

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