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5 de outubro de 2014

A Regra da Cadeia em 4 passos

Regra da Cadeia
A Regra da Cadeia, desenvolvida pelo matemático Gottfried Leibniz no século XVII, é uma ferramenta muito importante na disciplina de Cálculo. Para a galera que cursa Física, Matemática e Engenharias a Regra da Cadeia torna-se fácil pelo seu uso corriqueiro. Porém,  para quem não usa a Regra da Cadeia com frequência, a mesma torna-se muito complicada e de difícil compreensão. Para ajudar os que possuem dificuldades em assimilar a Regra da Cadeia, elaborei um passo-a-passo envolvendo uma questão. E, a seguir, você deve calcular facilmente duas questões que são propostas. Espero que ajude a todos. As equações podem ser melhores visualizadas com o navegador Firefox. Bons estudos! 

Exemplo ➠ Calcule a derivada da função abaixo usando a regra da cadeia:

$$y=(x^2 + 1)^3.$$

1º Passo - Use a definição da Regra da Cadeia


Precisamos aplicar a definição da regra da cadeia:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}.$$

Note que a intenção do problema é achar

$$\frac{dy}{dx}.$$

2º passo - Ache  $\frac{dy}{du}$


De acordo com a fórmula da regra da cadeia, primeiramente vamos achar

$$\frac{dy}{du}.$$

Para isso, faremos

$$u = x^2+1.$$

Substituindo o valor de u na função dada temos

$$y=(u)^3.$$

Derivando a expressão acima em relação a u, resulta em

$$\frac{dy}{du}=\frac{d(u^3)}{du}=3u^2.$$

3º Passo - Ache   $\frac{du}{dx}$


Agora, de acordo com a fórmula da regra da cadeia, devemos achar

$$\frac{du}{dx}.$$

Substitua o valor de u e efetue a derivda, assim:

$$\frac{du}{dx}=\frac{d(x^2+1)}{dx}=2x.$$

4º Passo - Substitua os valores na fórmula da Regra da Cadeia


Agora, substitua 
$$\frac{dy}{du}$$

e
$$\frac{du}{dx}$$

e o valor de u na regra da cadeia:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}.$$

Assim,

$$f'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{d(x^2 + 1)^3}{dx}$$

$$=3u^2.2x.$$

$$=6x(x^2+1)^2.$$

Desafios para você


Mãozinha tchau
 
Use a regra da cadeia e calcule:


$$a) f(x)=(x^5+2)^2.$$

Resposta:

$$f'(x)=10x^9 + 20x^4.$$



 $$b) f(x)=(x^3 - 3)^2.$$

Resposta:

$$f'(x)=6x^5 - 18x^2.$$

Bons estudos!
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3 de outubro de 2014

Como calcular facilmente a derivada do produto


Função exponencial
Na universidade o aluno precisa dar conta de todos os conteúdos ministrados pelo professor em sala de aula. Além disso, existem diversas disciplinas para estudar, diversos trabalhos e artigos para confeccionar e seminários para apresentar. No Cálculo o aluno tem que ralar, a não ser que venha com uma ótima bagagem do Ensino Médio, o que hoje em dia é muito raro acontecer. Para ajudar na parte de Cálculo, proponho um método muito fácil para obtermos a resolução da derivada do produto. Vamos tentar resolver pelos dois métodos, o método fácil e o método usual que também não é difícil. lembrando que as equações da aula são feitas no programa Latex e podem ser melhores visualizadas com o navegador Firefox. Bons estudos!

Derivada do produto - primeiro método

Encontrar a derivada da seguinte expressão
 

$$f(x) = (2x+1)(2x^2+2).$$


A expressão acima pode ser escrita como
 

$$f(x) = y = (2x+1)(2x^{2}+2).$$


Multiplique cada termo do primeiro polinômio


$$(2x+1)$$


por cada termo do segundo polinômio


$$(2x^{2}+2)$$.


Veja como:


$$y=2x.2x^2+2x.2+1.2x^2+1.2=4x^3+4x+2x^2+2.$$


Arrumando a expressão acima temos
 

$$y= 4x^3 + 2x ^2+ 4x +2.$$


Derivando normalmente a expressão acima, temos que
 

$$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{d\left[4x^3 + 2x ^2+ 4x+ 2\right]}{dx}$$
 

$$=12x^2+4x^1+4+0=12x^2+4x+4.$$


Portanto,

$$\frac{dy}{dx}=12x^2+4x+4.$$

Derivada do produto - método usual

Vamos utilizar a regra usual, a regra do produto, e calcular a derivada da mesma função. A regra é a seguinte:   


$$y'=uv'+vu'$$

 ou


$$\frac{dy}{dx}=u\cdot\frac{dv}{dx}+v\cdot\frac{du}{dx}.$$


Substituindo as funções na regra, temos
 

$$\frac{dy}{dx}=(2x + 1)\cdot\frac{d(2x ^2+2)}{dx}+(2x ^2+2)\cdot\frac{d(2x + 1)}{dx},$$


que equivale a  


$$\frac{dy}{dx}=(2x + 1)\cdot(4x^1 + 0)+(2x ^2+2)\cdot(2 + 0)$$
 

$$=(2x + 1)\cdot4x+(2x ^2+2)\cdot2$$
 

$$=8x^2 + 4x+4x^2+4,$$

ou seja, obtemos a mesma resposta do método anterior. A expressão acima equivale a:
  
Mãozinha tchau
 
$$= 12x^2 + 4x +4.$$

Bons estudos!

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2 de outubro de 2014

Como o robô Curiosity chegou na base do Monte Sharp

O robô Curiosity no solo marciano
O início da missão da NASA, chamada de Laboratório Científico de Marte (LCM) ou Mars Science Laboratory, se deu em 26 de novembro de 2011 com lançamento feito a partir do Cabo Canaveral. A bordo da missão estava o jipe robô, cujo nome é Curiosidade (Curiosity). No dia 6 de agosto de 2012, após uma viagem de aproximadamente 570 milhões de quilômetros no espaço que durou oito meses e meio, o Curiosidade pousou no planeta Marte, perto da base de um local chamado Aeolis Palus, no interior de uma vasta e antiga cratera de impacto, próxima do equador do planeta, a Cratera Gale.

A missão científica do robô Curiosidade

Antes do lançamento do rover, em novembro de 2011, foi determinado pelos pesquisadores que o Monte Sharp fosse o principal destino científico do Curiosidade. A princípio os cientistas da missão planejaram a subida do Curiosity fosse feita logo pelo sopé da montanha, aproveitando os instrumentos do robô para analisar as rochas em busca de pistas sobre a questão: “por que Marte passou de um mundo quente e úmido, no passado antigo, para um mundo seco que conhecemos hoje?” Porém, após a amartagem (quando o robô pousou em Marte), na Cratera Gale, em agosto de 2012, o Curiosidade não foi imediatamente para essa montanha, em vez disso, o robô passou quase um ano examinando rochas em outras localidades. Esse trabalho incluiu três operações de perfuração de coleta de amostras separadas. Isso valeu a pena, pois observações do rover nessas áreas permitiram aos cientistas da missão determinar se a área abrigava um sistema de fluxo de água em lagos, há bilhões de anos, e se a mesma poderia ter abrigado vida microbiana.

O Rover Curiosity em Marte

A jornada do robô em Pahrump Hills

Após isso, o Curiosidade começou sua caminhada de 5 milhas (8 km) com destino ao Monte Sharp em julho de 2013, alcançando um afloramento na base de uma montanha chamada de Pahrump Hills. Nessa localidade o Rover aproveitou para perfurar uma rocha alvo para avaliar a adequação do equipamento para a realização do processo de perfurações de amostras. Esse julgamento foi positivo, o que levou a equipe da missão adiante com certeza que o robô faria boas operações de perfurações em amostras.

O Rover Curiosidade em Marte

A chegada do Rover ao Monte Sharp

Em 11 de setembro de 2014, a chegada do robô ao Monte Sharp foi considerada uma grande vitória pelos responsáveis da missão, pois durante os últimos 15 meses foram priorizadas algumas trilhas para chegar a esse destino, afinal de contas, o Curiosity voou centenas de milhões de quilômetros com esse objetivo. No dia 24 de setembro, quarta-feira, o Curiosidade começou a operação com a perfuração de 6,7cm em um afloramento na base do Monte Sharp (o qual se eleva a 5,5km no céu marciano). O robô colheu essas amostras a fim de realizar análises de seus pós por meio dos seus instrumentos internos conhecidos como SAM (Análise de Amostras em Marte) e CheMin (Química e Mineralogia).

A primeira perfuração na base do Monte Sharp

A perfuração das rochas se deu na parte mais baixa da camada de base da montanha, porém, os pesquisadores pretendem examinar as camadas mais altas e mais novas expostas nas colinas próximas. Esses dados podem proporcionar aos pesquisadores mais informações sobre o ambiente de Marte no momento em que a montanha foi formada e depois desenvolvida.
 
Perfuração feita em marte pelo Curiosity

Vamos aguardar novas e boas notícias sobre a jornada do Curiosity no Monte Sharp. Espero ter ajudado. Bons estudos e sucesso a todos.

Fonte de pesquisa: space.com

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