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sábado, 5 de fevereiro de 2011

POTENCIAÇÃO - EXPOENTE NEGATIVO

O estudo das definições matemáticas sobre potenciação é muito importante no dia a dia. É um dos pré-requisitos para estudar na sequência: propriedades da potenciação, introdução à radiciação e suas propriedades, equação exponencial, função exponencial, inequação exponencial e logaritmos. Onde aplicamos, por exemplo, a função exponencial? Podemos aplicá-la no cálculo de juros compostos, no cálculo de crescimento populacional e no cálculo da depreciação de um automóvel.

Bom, vamos dar continuidade ao estudo anterior sobre as aplicações das definições sobre  Potências com expoentes inteiros negativos, a partir da 2ª questão (letra e). Nesta postagem teremos 8 exercícios respondidos.

Objetivos deste estudo:

- Aplicar os conhecimentos adquiridos no estudo anterior sobre Potência com expoente inteiro negativo;

- Dado um número fracionário ou decimal o aluno deverá escrevê-los na forma de potência com expoente inteiro negativo.

As equações deste estudo foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o poderoso navegador Firefox. Bons estudos!

e) $$10^{-3}$$

Passos:

- Coloque o número 1, positivo, no numerador;
- Coloque no denominador a base (10) elevado ao expoente 3.  Note que o expoente, que era negativo (-3), fica no denominador com o sinal positivo (3). 

$$10^{-3}=\frac{1}{10^{3}}=\frac{1}{1000}\cdot$$

ou seja, um milésimo. Para aprender sobre décimos, centésimos e os milésimos acesse Divisão com números decimais.

f) $$\left( \frac{2}{5}\right)^{-1}$$

- Coloque o expoente 1 no numerador;
- Coloque no denominador a base (2/5) elevado ao expoente (-1). Note que o expoente negativo (-1), ficará no denominador com o sinal positivo (1). Veja:

$$\left( \frac{2}{5}\right)^{-1} =\frac{1}{\left( \frac{2}{5}\right)^{1}} =\frac{1}{ \frac{2}{5}}\cdot$$

Eis uma divisão de fração, onde 1 é o numerador e e 2/5 é o denominador. Já estudamos que para dividir um número (1) por uma fração (2/5), multiplicamos o número (1) pelo inverso da fração (5/2), ou seja,

$$\frac{1}{ \frac{2}{5}} =1\cdot \frac{5}{2} =\frac{5}{2}\cdot$$

Portanto,

 $$\left( \frac{2}{5}\right)^{-1} =\frac{5}{2}\cdot$$

Para aprender sobre inverso de um número e divisão de frações acesse: Divisão de frações.

Dado um número fracionário ou decimal como escrevê-los na forma de potência com expoente inteiro negativo?

Vamos lembrar a da primeira definição sobre potências com expoente inteiro negativo:

$$a^{-1} =\frac{1}{a}\cdot$$

Podemos escrever a definição acima da seguinte maneira:

$$a^{-1} =\frac{1}{a^{1}}\cdot$$

Substituindo o exponte 1 por um expoente n (que deve ser inteiro e positivo) vamos obter

$$a^{-n} =\frac{1}{a^{n}}\cdot$$

Ajeitando a equação acima temos

$$\frac{1}{a^{n}}=a^{-n}\cdot$$

Lembrando que o número a deve ser real não nulo.

Vamos à prática:

3º) Dados os números na forma fracionária escreva-o sob forma de potência com expoente inteiro negativo:

a) $$\frac{1}{3^{2}}$$

Comparando

$$\frac{1}{3^{2}}$$

com

$$\frac{1}{a^{n}}=a^{-n}\cdot$$

temos que a = 3 e n = 2. Logo,

$$\frac{1}{3^{2}}=3^{-2}$$

Obs: a definição sobre potências com expoente inteiro negativo exige que o número a deve ser real não nulo. Já imaginou, neste exemplo, se a = 0? O que aconteceria?

Obteríamos

$$\frac{1}{0^{2}}=\frac{1}{0}.$$

Veja que não é possível divisão por zero. Por isso o número a, segundo a definição, deve ser real não nulo.

Escreva com regra prática o número abaixo (que está na forma fracionária) para a forma de potência com expoente inteiro negativo:

b) $$\frac{1}{5^{3}}$$

A resposta é o próprio denominador de base 5 elevado ao expoente (-3). Note que o expoente, que era positivo (3), fica na resposta com o sinal negativo (-3). Veja:

$$\frac{1}{5^{3}} =5^{-3} \cdot$$

Na linguagem do aluno: joga-se pra cima a parte que está debaixo do 1 (cinco elevado a terceira), com o expoente de sinal contrário (cinco elevado a menos três).

Observação importante: se o exemplo anterior fosse dado por

$$ \frac{1}{5^{-3}}?$$

Agora o expoente do cinco é negativo (-3), como proceder neste exemplo? Vale a mesma regra prática:

A resposta é o próprio denominador de base 5 elevado ao expoente (3). Note que o expoente, que era negativo (-3), fica na resposta com o sinal positivo (3). Veja:

$$\frac{1}{5^{-3}} =5^{3} =125.$$

Bom, aproveitamos e aprendemos mais esta técnica, porém, o objetivo deste estudo é sempre converter o número, fracionário ou decimal, para a forma de potência com expoente inteiro negativo. Vamos continuar com este maravilhoso estudo, mãos à obra:

c) $$\frac{1}{4}}$$

Podemos escrever que

$$\frac{1}{4}=\frac{1}{4^{1} }$$

A resposta é o próprio denominador de base 4 elevado ao expoente (1). Note que o expoente, que era positivo (1), fica na resposta com o sinal negativo (-1). Veja:

$$\frac{1}{4^{1}} =4^{-1} \cdot$$

4º) Escreva com regra prática o número abaixo (que está na forma decimal) para a forma de potência com expoente inteiro negativo:

a) $$0,001$$

Este número número decimal pode ser escrito, em forma fracionária, como

$$0,001=\frac{1}{1000}\cdot$$

Obs: se você ainda não sabe transformar um número decimal em forma de fração não fique triste, acesse Como transformar números decimais em fração. É uma técnica que exige prática, portanto, caderno e lápis nas mão.

Podemos escrever a expressão acima da seguinte maneira:

$$\frac{1}{1000}=\frac{1}{10^{3} }$$

A resposta é o próprio denominador de base 10 elevado ao expoente (-3). Note que o expoente, que era positivo (3), fica na resposta com o sinal negativo (-3). Veja:

$$0,001=\frac{1}{1000}=\frac{1}{10^{3} }=10^{-3}\cdot$$

Este número pode ser lido como 1 milésimo.

b) $$0,01$$

Este número número decimal pode ser escrito, em forma fracionária, como

$$0,01=\frac{1}{100}\cdot$$

Podemos escrever a expressão acima da seguinte maneira:

$$\frac{1}{100}=\frac{1}{10^{2} }\cdot$$

A resposta será o próprio denominador de base 10 elevado ao expoente (-2). Note que o expoente, que era positivo (2), fica na resposta com o sinal negativo (-2). Veja:

$$0,01=\frac{1}{100}=\frac{1}{10^{2} }=10^{-2}\cdot$$

Este número pode ser lido como 1 centésimo.

c) $$0,1$$

Este número número decimal pode ser escrito, em forma fracionária, como

$$0,1=\frac{1}{10}\cdot$$

Podemos escrever a expressão acima da seguinte maneira:

$$\frac{1}{10}=\frac{1}{10^{1} }\cdot$$

A resposta será o próprio denominador de base 10 elevado ao expoente (-1). Note que o expoente, que era positivo (1), fica na resposta com o sinal negativo (-1). Veja:

$$0,1=\frac{1}{10}=\frac{1}{10^{1} }=10^{-1}\cdot$$

Este número pode ser lido como 1 décimo.

Obs: para aprender a ler números decimais, como décimos, centésimos, milésimos estude Leitura de números decimais.

Na próxima postagem daremos continuidade a este estudo. Não perca!

17 comentários:

Thalles Kadett disse...

Olá!
Muito boa suas explicações!
Agora sim estou entendendo PERFEITAMENTE esse conteudo!
Parabéns pelo blog!
E MUITO obrigado!

Anônimo disse...

valeu professor ajudou muito

Anônimo disse...

nao era o que eu tava procurando mas se estivesse procurando isso teria me ajudado mtooooooooooooooooooo obrigado

Tainan disse...

muuuuuuito boa a explicação
parabens msm!!!!!

Anônimo disse...

Muito bom!

Anônimo disse...

eu gostei muito eu adorei essa explicaçao.

Anônimo disse...

Muito bom mesmo, continue assim !
Até já adicionei ao meus favoritos.

Anônimo disse...

gosteii a agora so falta eu saber essa (0,3)elevado a menos1?

Anônimo disse...

Muito obrigado por compartilhar seus conhecimentos, aprendi muito com seus ensinamentos, práticos e didáticos.

Fernanda d. $ouza ´ disse...

Graças a Deus eu achei este site. Que Deus os abençoe no Nome de Cristo Jesus!

Unknown disse...

Muito bom, é difícil achar explicações simples porém completas. Parabéns, consegui entender o conteudo perfeitamente.

Raissa disse...

Muito obrigada

Israel Joao disse...

show tenho prova hj e vc esta me ajudando muito

Fernanda Santana de Freitas disse...

Muito bom, ajudou bastante!Parabéns pelo blog.

Nina Mahian disse...

Explicação Perfeita.

OnePlex Brasil disse...

Boa noite Elísio! Parabéns pelo conteúdo, material de excelente qualidade e que contribuiu muito para o esclarecimento de minhas dúvidas! Flw

Restart eu te Amo!!!!!!! disse...

Oiii gente eu sou nivea e esse pagina me ajuda muito

Gostou do estudo? Comente abaixo.

No lado direito do blog, em Categorias: Matemática Fundamental e Matemática para Física, temos muitos exercícios resolvidos de matemática básica, fornecendo a você uma base para encarar as disciplinas Física e Matemática do nível médio e superior. Por favor, não enviem exercícios para eu resolver, pois estou muito acarretado de tarefas e com pouquíssimo tempo até para postar. Agradeço os leitores que me comunicaram sobre erros de digitação em algumas postagens. Se você quiser contato, deixe seu e-mail ou escreva-me. Agradeço aos leitores que respondem às perguntas feitas, nos comentários, por alunos com dúvidas.

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Espero ajudado você de alguma forma! Obrigado pela paciência! Bons estudos!

Atenciosamente,
Elísio.