OS PASSOS DA DIVISÃO

Os professores, em sala de aula, ensinam variados métodos de como fazer uma divisão, uns ensinam o método breve (curto), muito usado no 6º ano (5ª série) do fundamental, outros ensinam o método longo e outros o método americano. A verdade é que nas salas de aula, tanto do ensino médio como do fundamental, existem bem poucos alunos que sabem, realmente, dividir. Com a chegada dos celulares o desinteresse cresceu assustadoramente. Poucos alunos querem fazer contas usando a caneta e caderno. Será que isso é bom para a sociedade? Vamos lembrar que em concursos, no ENEM, por exemplo, não se usa a calculadora do celular.

Muitos projetos que vejo por aí enfatizam muito a dança, a diversão, gincana, passeios, etc. Porém, o sistema educacional deveria entregar também trabalhos de base, como esse que posto aqui, aos alunos em forma de projetos, pois as instituições de ensino sabem que a falta de matemática básica é uma das carências dos alunos. Fazer, por exemplo, mini cursos, passo a passo e na linguagem do aluno, ajudaria muito as escolas públicas.

Vamos lembrar, novamente, que as equações deste estudo foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o poderoso navegador Firefox. Portanto, se você recebe esse estudo por e-mail, no Brasil, em Portugal, Angola e países vizinhos é bom visualizar as equações no Firefox. Bons estudos e mãos à obra!

Se você já sabe dividir, parabéns! Mas saiba que, tanto para o aluno aprender como para o professor ensinar como dividir é um processo demorado e trabalhoso - quem vive nas salas de aula sabe disso. O processo de ensinar, a engenharia didática, a linha de frente, o trabalho de base e braçal com a sala requer muita paciência por parte do educador. O professor não pode falar difícil senão o aluno não aprende, sente pavor de contas e assim, começam os bloqueios na aprendizagem do aluno. Sem contar que existem os alunos que não querem aprender o assunto. Como proceder? Como construir esse conhecimento? O processo que vamos descrever abaixo talvez amenize essa situação é o método longo da divisão, mas com o processo algorítmico bem detalhado, espero que ajude alguém. Esse método é de grande utilidade e tem ajudado muito as pessoas com as seguintes características:

• Possuem muita dificuldade em dividir;

• Nunca conseguiram entender o método da divisão e, como consequência, nunca aprenderam o método curto;

• Pais e mães que buscam uma metodologia de ensino sobre divisão para poder aprender com calma e assim, ensinar seus filhos;

• Professores que gostariam de ensinar para os seus queridos alunos uma técnica branda, divertida e produtiva no ensino da divisão;

• Alunos que realmente possuem interesse em aprender o assunto e dar um show no quadro branco ou verde para toda a sala;

• Para alunos determinados em vencer as olimpíadas de matemática;

• Universitários(as) que nunca aprenderam de fato a dividir e carregam aquela insegurança e, no futuro, não vão poder ensinar divisão aos seus filhos que serão, talvez, futuros físicos, médicos e engenheiros;

• Alunos do nível médio que fingem que sabem dividir, usam muito o celular para fazer contas e tiram notas baixíssimas em matemática, física e química, pois tais matérias exigem que o aluno saiba o processo de divisão;

• Aqueles que já sabem dividir, mas querem se aprofundar mais no assunto; 

• Meninos(as) que ficaram de recuperação em assuntos que envolvem divisão. Note que a maioria dos assuntos em matemática envolvem divisão;

• Alunos que passaram de ano sem saber o método da divisão. Se tais alunos ainda possuem um pouco de interesse no método e esperança em aprendê-lo, mãos à obra.

No seu dia a dia escolar o aluno se depara com divisões de números da ordem do milhar ou de dezenas de milhar por número da ordem da dezena, com zero intercalado no quociente. Veja exemplos: 

1º) Faça a seguinte divisão 

$\begin{tabular}{llllllllll} & & M & C & D & U & & & & \\ & & 5 & 1 & 7 & 5 & \multicolumn{1}{l|}{}& 2 & 5 & \\ \cline{8-10} & & & & & & & & & \\ & & & & & & & C & D & U \\ \end{tabular}$

Obs: esse pequeno estudo faz parte de um eBook que estou escrevendo sobre os passos da divisão, para os alunos da comunidade que um dia, talvez, se tornarão físicos e engenheiros, mestres e doutores, segundo o desejo dos seus corações. No eBook teremos muitas contas resolvidas passo a passo, como veremos aqui, com várias etapas e processos de aprendizagem. É muito trabalhoso para mim digitar essas equações. Como o blog não aguenta essas grandes equações, faremos apenas dois exemplos.

Inicialmente vamos separar, com um apóstrofo ('), os primeiros algarismos (51) dos demais, pois sua representação (o número 51) deve ser maior ou igual ao divisor (25). No caso, podemos notar que 51 é maior que 25. Portanto, a nossa divisão fica representada assim: 

$\begin{tabular}{llllllllll} & & M & C & D & U & & & & \\ & & 5 & 1' & 7 & 5 & \multicolumn{1}{l|}{} & 2 & 5 & \\ \cline{8-10} & & & & & & & & & \\ & & & & & & & C & D & U \\ \end{tabular}$

Você pode notar que o 1 (do 51) ficou abaixo de C (centenas de unidades simples ou centenas), portanto, podemos lê o 51 assim: 51 centenas. Segue que 51 centenas dividido por 25 resultam em 2 C e, 2 C vezes 25 é igual a 50 C. Note que 50 C para 51 C dá 1C, ou seja, 51 - 50 = 1. Atenção: somente depois desse passo, podemos abaixar o 7. Veja: 

$\begin{tabular}{llllllllll} & & M & C & D & U & & & & \\ & & 5 & 1' & 7 & 5 & \multicolumn{1}{l|}{} & 2 & 5 & \\ \cline{8-10} & - & 5 & 0 & & & & 2 & & \\ \cline{3-4} & & 0 & 1 & 7 & & & C & D & U \\ \end{tabular}$

Somente depois de baixar o 7, fazemos a pergunta: o novo dividendo (17) é maior ou igual ao divisor (25)? Não é maior e nem é igual, é menor. E agora? Cuidado, sempre que a resposta for não, iremos intercalar um zero no quociente. Veja os passos: o número 7 (do 17) ficou abaixo de D (dezenas), portanto, lê-se 17 dezenas dividido por 25 dá 0 dezenas. Coloca-se esse zero (0) intercalado no quociente. Segue que 0 dezenas vezes 25 dá 0 e, 0 para 17 dá 17 (17 - 0 = 17). Depois dessa etapa, abaixa-se o 5. Já podemos retirar o tracinho (apóstrofo) do 51. Veja: 

$\begin{tabular}{llllllllll} & & M & C & D & U & & & & \\ & & 5 & 1 & 7 & 5 & \multicolumn{1}{l|}{} & 2 & 5 & \\ \cline{8-10} & - & 5 & 0 & & & & 2 & 0 & \\ \cline{3-4} & & 0 & 1 & 7 & & & C & D & U \\ & & - & & 0 & & & & & \\ \cline{4-5} & & & 1 & 7 & 5 & & & & \\ \end{tabular}$

Depois de abaixar o 5, fazemos a pergunta: o novo dividendo (175) é maior ou igual ao divisor (25)? Sim, é maior. O 5 (do 175) ficou abaixo de U (unidades simples), portanto lê-se 175 unidades dividido por 25 dá 7 unidades. Coloca-se esse 7 no quociente. Segue que 7 vezes 25 dá 175 e, 175 para 175 dá 0, Pergunta final: tem algum outro número para baixar? Não. Portanto, é uma divisão exata pois o resto é igual a zero.

$\begin{tabular}{llllllllll} & & M & C & D & U & & & & \\ & & 5 & 1 & 7 & 5 & \multicolumn{1}{l|}{} & 2 & 5 & \\ \cline{8-10} & - & 5 & 0 & & & & 2 & 0 & 7 \\ \cline{3-4} & & 0 & 1 & 7 & & & C & D & U \\ & & - & & 0 & & & & & \\ \cline{4-5} & & & 1 & 7 & 5 & & & & \\ & & - & 1 & 7 & 5 & & & & \\ \cline{4-6} & & & & & 0 & & & & \\ \end{tabular}$ 

2º) Faça a seguinte divisão

$\begin{tabular}{lllllllllll} & DM & M & C & D & U & & & & & \\ & 2 & 0 & 0 & 0 & 4 & \multicolumn{1}{l|}{} & 2 & 0 & & \\ \cline{8-11} & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & M & C & D & U \\ \end{tabular}$

Vamos separar, com um apóstrofo ('), os primeiros algarismos (20) dos demais, pois sua representação (o número 20) deve ser maior ou igual ao divisor (20). No caso, podemos notar que o 20 do dividendo é igual  ao 20 do divisor. Portanto, a nossa divisão fica representada assim: 

$\begin{tabular}{lllllllllll} & DM & M & C & D & U & & & & & \\ & 2 & 0' & 0 & 0 & 4 & \multicolumn{1}{l|}{} & 2 & 0 & & \\ \cline{8-11} & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & M & C & D & U \\ \end{tabular}$

O zero (do 20) ficou abaixo do M (unidade de milhar, milhar ou mil), portanto a leitura é: 20 mil ou 20 unidades de milhar. Segue que 20 mil dividido por 20 resultam em 1 milhar (mil) e, 1 mil vezes 20 é igual a 20 milhar. Note que de 20 para 20 dá 0. Depois desse passo abaixe o segundo 0.  Veja 

$\begin{tabular}{lllllllllll} & DM & M & C & D & U & & & & & \\ & 2 & 0' & 0 & 0 & 4 & \multicolumn{1}{l|}{} & 2 & 0 & & \\ \cline{8-11} - & 2 & 0 & & & & & 1 & & & \\ \cline{2-3} & & 0 & 0 & & & & M & C & D & U \\ \end{tabular}$

Depois de abaixar o segundo 0 (zero), fazemos a pergunta: o novo dividendo (0) é maior que o divisor (20)? Não. E agora? Isso quer dizer que vamos intercalar um zero no quociente, veja os passos: o zero(0) ficou abaixo de C (centena), portanto lê-se 0 centenas dividido por 20 dá 0 centenas, o qual é intercalado no quociente. Segue que 0 vezes 20 dá 0 e, 0 para 0 dá 0. A seguir abaixa-se o outro 0 (note que será o terceiro 0). Veja 

$\begin{tabular}{lllllllllll} & DM & M & C & D & U & & & & & \\ & 2 & 0 & 0 & 0 & 4 & \multicolumn{1}{l|}{} & 2 & 0 & & \\ \cline{8-11} - & 2 & 0 & & & & & 1 & 0 & & \\ \cline{2-3} & & 0 & 0 & & & & M & C & D & U \\ & & - & 0 & & & & & & & \\ \cline{3-4} & & & 0 & 0 & & & & & & \\ \end{tabular}$

Depois de abaixar o terceiro 0, fazemos a pergunta: o novo dividendo (0) é maior que o divisor (20)? Não. E agora? Isso quer dizer que vamos intercalar mais um zero no quociente, veja os passos: o 0 ficou abaixo de D (dezena), portanto lê-se 0 dezenas dividido por 20 dá 0 dezenas. Coloca-se o zero (0) intercalado no quociente. Segue que esse 0 vezes 20 dá 0 e, 0 para 0 dá 0. A seguir abaixa-se o 4. Veja:

$\begin{tabular}{lllllllllll} & DM & M & C & D & U & & & & & \\ & 2 & 0 & 0 & 0 & 4 & \multicolumn{1}{l|}{} & 2 & 0 & & \\ \cline{8-11} - & 2 & 0 & & & & & 1 & 0 & 0 & \\ \cline{2-3} & & 0 & 0 & & & & M & C & D & U \\ & & - & 0 & & & & & & & \\ \cline{3-4} & & & 0 & 0 & & & & & & \\ & & & - & 0 & & & & & & \\ \cline{5-5} & & & & 0 & 4 & & & & & \\ \end{tabular}$

Depois de abaixar o 4, fazemos a pergunta: o novo dividendo (4) é maior que o divisor (20)? Não. E agora? Isso quer dizer que vamos intercalar outro zero no quociente, veja os passos: o 4 ficou abaixo de U (unidade), portanto lê-se 4 unidades dividido por 20 dá 0 unidades e, esse 0 é intercalado no quociente. Segue que esse 0 vezes 20 dá 0 e, 0 para 4 dá 4. Pergunta final: tem algum outro número para baixar? Não. Segue que o resto, no caso é 4. Como o resto é diferente de zero a divisão é não exata. Veja:

$\begin{tabular}{lllllllllll} & DM & M & C & D & U & & & & & \\ & 2 & 0 & 0 & 0 & 4 & \multicolumn{1}{l|}{} & 2 & 0 & & \\ \cline{8-11} - & 2 & 0 & & & & & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \cline{2-3} & & 0 & 0 & & & & M & C & D & U \\ & & - & 0 & & & & & & & \\ \cline{3-4} & & & 0 & 0 & & & & & & \\ & & & - & 0 & & & & & & \\ \cline{5-5} & & & & 0 & 4 & & & & & \\ & & & & - & 0 & & & & & \\ \cline{6-6} & & & & & 4 & & & & & \\ \end{tabular}$

Bons estudos e sucesso aí!

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O POTENCIAL ELÉTRICO - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Em eletrostática aprendemos que uma carga elétrica Q (chamada carga fonte), cria ao seu redor uma grandeza vetorial chamada de campo elétrico (E). Vale lembrar que a Terra também cria ao seu redor um campo gravitacional, que atrai os corpos para o seu centro. O campo elétrico, gerado por uma carga fonte, pode ser representado por linhas de força. Quando a carga fonte é positiva, as linhas de força (ou linhas de campo) são ditas de afastamento (ou divergentes). Veja figura:

Carga Q positiva gerando campo elétrico de afastamento.

Para detectar facilmente um campo elétrico aproximamos da carga fonte (Q) uma outra carga q, chamada carga de teste (ou de prova). A carga de teste (q) irá interagir com a carga fonte (Q), originando uma força de repulsão ou de atração e sofrer um deslocamento. Observação: esse fenômeno nos faz lembrar o nosso estudo, a nível fundamental (8ª série ou 9º ano). Acesse o estudo sobre noções de Trabalho mecânico onde conscientizamos o estudante que só existe trabalho quando há transferência de energia e que, se uma força produz deslocamento num corpo, ela realiza trabalho sobre esse corpo. Como exemplo, temos dois corpos (partículas) no sistema: Carga fonte (Q) e carga de prova (q). Havendo interação entre esses corpos (partículas),  aparecerá uma força (atração ou repulsão) agindo na carga q, empurrando-a. Se a força favorece o deslocamento, ou seja, se a força atua no mesmo sentido do deslocamento da carga, o trabalho da força elétrica é chamado motor ou positivo. Quando a força elétrica não favorece o deslocamento ela executa um trabalho resistente. Quando a carga fonte é negativa, as linhas de força (ou linhas de campo) são ditas de aproximação (ou convergentes). Veja a figura:

Carga -Q (negativa) gerando campo elétrico de aproximação.

Quando estudamos fenômenos elétricos precisamos saber alguns conceitos relacionados ao potencial elétrico (V) e a diferença de potencial (ddp). Considere, de acordo com a figura acima, muitos pontinhos  desenhados e contidos no campo elétrico. Em cada ponto (posição A, posição B, posição P,...) de uma linha de campo (que configura um campo elétrico) temos um potencial elétrico, que é uma grandeza escalar. O cálculo desse potencial é o objetivo desta postagem. A ddp entre dois pontos, por exemplo de A e de B, é conhecida como tensão ou voltagem. Afirmar que a tensão entre dois pontos é alta é o mesmo que afirmar que a carga elétrica recebe do campo no qual está inserida uma grande quantidade de energia. Sabemos que o risco de uma pessoa levar um choque elétrico não está relacionado ao potencial elétrico e sim, à diferença de potencial (ddp). O cálculo da ddp será estudada no decorrer deste curso. Vamos lembrar, novamente, que as equações deste estudo foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o poderoso navegador Firefox. Bons estudos e mãos à obra!

O POTENCIAL ELÉTRICO GERADO POR UMA CARGA PUNTIFORME

1º) Qual é o potencial elétrico situado em um ponto A a 400 mm de uma carga elétrica de(Q) de 6 microcoulombs?

Dados do problema:

A distância da carga ao ponto considerado é igual a d = 400 mm. Como estamos usando o Sistema Internacional de Unidades (SI), precisamos transformar a distância (d) que está em milímetros (mm) para metros (m):

d = 400 mm = 0,4 m.

Se você ainda não sabe transformar mm em m, estude os exercícios resolvidos sobre este assunto na pesquisa que guardei no disco virtual SCRIBD: Transformação de unidades de medida de comprimento. Para visualizar este estudo você precisa ter instalado em seu computador o Adobe Flash Player.

Carga elétrica = Q = 6 microcoulombs = 6.10^-6 C.

Como o meio é o vácuo, usaremos a constante eletrostática no vácuo

K = 9.10⁹ N.m²/C².

A fórmula do potencial elétrico gerado por uma carga puntiforme:

$$V=K{\frac{Q}{d}}.$$

Descrição do fenômeno:  a carga elétrica Q (chamada carga fonte), cria ao seu redor um campo elétrico. Dentro desse campo consideremos um ponto qualquer e o chamaremos de A. Queremos saber o potencial elétrico nesse ponto. Veja a figura:

Como queremos o potencial no ponto A, indicaremos a fórmula acima assim:

$$V_{A}=K{\frac{Q}{d}}.$$

Vamos substituir os valores dados acima com suas respectivas unidades de medida nesta fórmula, pois a intenção é encontrar algum sentido físico para o potencial e provar que sua unidade de medida é o volt (V). Veja:

$$V_{A}=9.10^{9}.{\frac{N.m^{2}}{C^{2}}.{\frac{6.10^{-6}C}{0,4m}}= {\frac{54.10^{3}}{4.10^{-1}}.{\frac{N.m}{C}}$$

Sabemos que 1 N (Newton) vezes 1 m (metro) = 1 J (Joule), ou seja,

$$1N.1m = 1 J.$$

Portanto, a expressão para o potencial pedido é:

$$V_{A}=13,5.10^{4}{\frac{J}{C}}.$$

Dica ➠ Significado físico da expressão acima: cada 1 coulomb de carga colocada em algum ponto (no caso o ponto A), num campo elétrico, dotará o sistema de uma energia potencial eletrostática de 13,5.10⁴J. Vamos falar de energia potencial no decorrer deste estudo.

Sabemos que 1 J sobre 1 C (coulomb) = 1 V (volt), ou seja,

$${\frac{J}{C}}=V.$$

Portanto, a expressão para o potencial pedido é:

$$V_{A}=13,5.10^{4}V,$$

que pode ser escrita em notação científica:

$$V_{A}=1,35.10^{1}.10^{4}V = 1,35.10^{5}V.$$

Se você ainda não sabe técnicas de notação científica, estude e aprenda em nosso minicurso alguns exercícios resolvidos sobre este assunto, acesse: Minicurso sobre notação científica.

Como a carga fonte é positiva (Q>0), o potencial do campo criado por ela também é positivo (V>0).

➠ Dica: O potencial elétrico ou apenas potencial (representado pela letra V) é uma grandeza associada a cada ponto de uma região onde haja campo elétrico. No Sistema internacional (SI), o potencial é medido em volts (V). 1V é o potencial de um ponto que fornece a uma carga de 1C, nele colocada, uma energia de 1J. O potencial é uma grandeza escalar e admite valores positivos e negativos.

2º) Qual é o potencial elétrico situado em um ponto B situado a 90 cm de uma carga elétrica de carga igual a 5.10^-6 C?

Dados do problema:

Precisamos transformar a distância (d) que está em centímetros (cm) para metros (m):

Distância = d = 90 cm = 0,90 m.

Carga = Q = 5.10^-6 C.

Como o meio é o vácuo, usaremos a constante eletrostática no vácuo:

 K = 9.10⁹ N.m²/C².

A fórmula do potencial elétrico gerado por uma carga puntiforme:

$$V=K{\frac{Q}{d}}$$

Descrição do fenômeno:  a carga elétrica Q (chamada carga fonte), cria ao seu redor um campo elétrico. Dentro desse campo consideremos um ponto qualquer e o chamaremos de B. Queremos saber o potencial elétrico nesse ponto. Veja a figura:

 

Como já provamos, na questão anterior, que a unidade de medida do potencial é o volts (V), desta vez não vamos substituir as unidades de medidas das grandezas contidas na fórmula. Portanto, substituindo os valores dados na fórmula:

$$V_{B}=9.10^{9}.{\frac{5.10^{-6}}{0,90}}={\frac{45.10^{3}}{90.10^{-2}}.$$

Portanto,

$$V_{B}={\frac{45.10^{3}}{9.10^{1}.10^{-2}}={\frac{45.10^{3}}{9.10^{-1}}=5.10^{4}V.$$

Como a carga fonte é positiva (Q>0) o potencial também é positivo (V>0).

➠ Dica: Se a carga fonte que gera o campo for positiva (Q>0) o vetor campo elétrico será de afastamento e o potencial será positivo (V>0). Se a carga fonte for negativa (Q<0) o vetor campo elétrico será de aproximação  e o potencial será negativo (V<0).

3º) Qual é o potencial em um ponto C situado a 2 cm de uma carga elétrica de valor igual -4.10^-8 C? 

Dados do problema:

Precisamos transformar a distância (d) que está em centímetros (cm) para metros (m):

Distância = d = 2 cm = 0,02 m.

Carga = Q = -5.10^-8 C.

Constante eletrostática no vácuo = K = 9.10⁹ N.m²/C².

A fórmula do potencial elétrico gerado por uma carga puntiforme:

$$V=K{\frac{Q}{d}}.$$

Descrição do fenômeno:  a carga elétrica -Q (chamada carga fonte), cria ao seu redor um campo elétrico. Dentro desse campo consideremos um ponto qualquer e o chamaremos de C. Queremos saber o potencial elétrico nesse ponto. Veja a figura:

Substituindo os valores dados na fórmula:

$$V_{C}=9.10^{9}.{\frac{-4.10^{-8}}{0,02}}={\frac{-36.10^{1}}{2.10^{-2}}.$$

Portanto,

$$V_{C}=-18.10^{3}=-1,8.10^{1}.10^{3}=-1,8.10^{4}V.$$

Como a carga fonte é negativa (Q<0) o potencial também será negativo (V<0).

➠ Dica: O potencial elétrico depende do referencial, sendo considerado nulo (V=0) o potencial de um ponto infinitamente afastado da carga fonte. O potencial elétrico em um ponto P não depende da carga de prova (q) - vamos provar que isso é verdade mais adiante.

O POTENCIAL ELÉTRICO GERADO POR DUAS CARGAS PUNTIFORME

4º) Qual é o potencial em um ponto A situado a uma distância d₁ = 2 cm de uma carga elétrica Q₁ = -8.10^-9 C e a uma distância d₂ = 6 cm de uma outra carga Q₂ = 2.10^-6 C?

Dados do problema para o cálculo do potencial parcial V₁ no ponto A:

Precisamos transformar a distância (d₁) que está em centímetros (cm) para metros (m):

Distância = d₁ = 2 cm = 0,02 m.

Carga = Q₁ = -8.10^-9 C.

Constante eletrostática no vácuo = K = 9.10⁹ N.m²/C².

Fórmula do potencial elétrico no ponto A gerado pela carga puntiforme Q₁:

$$V_1=K{\frac{Q_1}{d_1}}.$$

Descrição do fenômeno:  Cada carga elétrica, Q₁ e Q₂, cria ao redor de si um campo elétrico. Queremos calcular o potencial elétrico total, em um ponto qualquer chamado de A, oriundo de cada carga fonte. Veja a figura:
 

Substituindo os valores dados na fórmula:

$$V_1=9.10^{9}.{\frac{-8.10^{-9}}{0,02}}={\frac{-72.10^{0}}{2.10^{-2}}.$$

Portanto,

$$V_1=-36.1.10^{2}=-3,6.10^{3}V.$$

Como a carga fonte é negativa (Q₁<0) o potencial é negativo (V₁<0).

Cálculo do potencial parcial V_2.

Precisamos transformar a distância (d₂) que está em centímetros (cm) para metros (m):

Distância = d₂ = 6 cm = 0,06 m.

Carga = Q₂ = 2.10^-6 C.

Constante eletrostática no vácuo = K = 9.10⁹ N.m²/C².

Fórmula do potencial elétrico gerado pela carga puntiforme Q₂:

$$V_2=K{\frac{Q_2}{d_2}}.$$

Substituindo os valores dados na fórmula:

$$V_2=9.10^{9}.{\frac{2.10^{-6}}{0,06}}={\frac{18.10^{3}}{6.10^{-2}}.$$

Portanto,

$$V_2=3.10^{5}V.$$

Como a carga fonte é positiva (Q>0) o potencial é positivo (V>0).

O potencial total no ponto A será:

$$V_A=V_1+V_2=-3,6.10^{3}V+3.10^{5}V.$$

Portanto,

$$V_A=10^{5}(-3,6.10^{-2}+3)V.$$

Desse modo

$$V_A=10^{5}(-0,036+3)V=100000.2,964V,$$

equivale a

$$V_A= 296400=2,964.10^{5}V.$$

➠ Dica: para obtermos o potencial em um ponto P qualquer, situado no campo de várias cargas puntiformes, calculamos o potencial oriundo de cada fonte e, a seguir, faz-se a soma algébrica dos potenciais obtidos.

Daremos prosseguimento a esse estudo na próxima postagem com mais exercícios resolvidos. Não perca! Mas, como você poderá ficar sabendo das nossas próximas postagens? Faça como os alunos da rede estadual, municipal e os Institutos Federais Tecnológicos: vá ao lado direito do blog, onde está escrito "RECEBA POR E-MAIL OS NOSSOS ESTUDOS", você escreve seu e-mail. Após isso você receberá um e-mail para confirmação. Após você receber e confirmar (não esqueça de confirmar) o e-mail, no momento em que houver outra publicação, você será alertado no seu E-mail sobre a mesma. Boa sorte! Até mais.

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MINICURSO SOBRE NOTAÇÃO CIENTÍFICA

Sejam todos bem-vindos ao minicurso sobre notação científica. Este minicurso foi escrito, com muita paciência e boa vontade, para todas as pessoas que, de alguma forma, irão aplicar esses conhecimentos no seu cotidiano e para alunos que possuem certas dificuldades em trabalhar com números. Enfim, para todos aqueles que querem vencer nos estudos e na vida, passar em um concurso, arrumar um bom emprego e cursar uma universidade.

A pedido dos alunos do nível fundamental, da EJA, técnico e médio, temos mais um minicurso digitado em nosso blog que tem auxiliado centenas de pessoas. A técnica ou metodologa utilizada aqui é a prática e a repetição, ou seja,  o aluno estuda com certo interesse uma questão e, após entendê-la, tenta refazê-la no seu caderno. Ao longo do minicurso o aluno aplica o mesmo racicínio usados nas questões anteriores. O minicurso está dividido em quatro tópicos:

1º TÓPICO:

COMO TRANSFORMAR DECIMAIS EM POTÊNCIAS DE BASE 10

Clique na figura:

2º TÓPICO:

APRENDENDO TÉCNICAS SOBRE NOTAÇÃO CIENTÍFICA

Clique na figura:

3º TOPICO:

COMO DESLOCAR A VÍRGULA EM NOTAÇÃO CIENTÍFICA

Clique na figura:

4º TÓPICO:

NOTAÇÃO CIENTÍFICA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Clique na figura:

Se o educador ou o aluno quiser propagar o método e o conhecimento sobre notação científica, basta apontar o mouse na caixinha na lateral do blog, copiar e colar o código para a barra lateral do seu blog ou para uma postagem-aula que fale sobre o assunto - aparecerá um logotipo (bem leve). Ao clicar neste logotipo, usuário acessa o minicurso. Procure "- Minicurso Notação Científica -" na barra lateral do blog.

Bons estudos!

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COMO DESLOCAR A VÍRGULA EM NOTAÇÃO CIENTÍFICA

Existem áreas da ciência onde são empregados números bem pequenos que ajudam a descrever fenômenos, resultados  e discussões de pesquisas. Por exemplo, na nanotecnologia podemos medir espessuras de filmes finos, agrupamentos de nanotubos de carbono e diâmetros atômicos. Porém, na astronomia e cosmologia são empregados números bem grandes para medir, como exemplos, diâmetros de sóis, comprimento de galáxias, anos-luzes e densidades de buracos negros. Para representar esses pequenos e grandes números precisamos de uma notação matemática chamada de notação científica. Ao final desse minicurso o aluno deverá saber representar qualquer número em notação científica. Neste tópico vamos analisar 9 situações que envolvem técnicas, já estudadas, de notação científica, com ênfase para o deslocamento da vírgula. Cada questão estudada deverá ser refeita no seu caderno. Vamos lembrar que esse estudo é a continuação do módulo anterior COMO ESCREVER NÚMEROS EM NOTAÇÃO CIENTÍFICA e que as equações desta minicurso foram escritas em Latex, podendo ser melhor visualizadas com o navegador Firefox. Bons estudos!

25º) Desafio para você: colocando-se a vírgula imediatamente após o primeiro algarismo das questões abaixo, determine seus expoentes.

$$a)\qquad 23.10^{-4}=2,3.10^{?}.$$

Queremos que a vírgula fique imediatamente na frente do 2, para isso vamos deslocá-la 1 casa decimal para a esquerda. Mas, ao deslocarmos a vírgula uma casa decimal para a esquerda, o expoente negativo de base 10 aumenta de um número ( -4 + 1 = -3 ), ou seja, de -4 aumenta para -3. Lembre-se: -3 é maior que -4. Portanto,

 $$23.10^{-4}=2,3.10^{-3}.$$

$$b)\qquad 679.10^{-11}=6,79.10^{?}.$$

Queremos que a vírgula fique imediatamente na frente do 6, para isso vamos deslocá-la 2 casas decimais para a esquerda. Mas, ao deslocarmos a vírgula duas casas decimais para a esquerda, o expoente negativo de base 10 aumenta de dois números ( -11 + 2 = -9 ), ou seja, de -11 passa para -9. Lembre-se: -9 é maior que -11. Portanto,

$$679.10^{-11}=6,79.10^{-9}.$$

$$c)\qquad 99.10^{-2}=9,9.10^{?}.$$

Queremos que a vírgula fique imediatamente na frente do 9, para isso vamos deslocá-la 1 casa decimal para a esquerda. Mas, ao deslocarmos a vírgula uma casas decimal para a esquerda, o expoente negativo de base 10 aumenta de um número ( -2 + 1 = -1), ou seja, de -2 sobe para -1. Lembre-se: -1 é maior que -2. Portanto,

 $$99.10^{-2}=9,9.10^{-1}.$$

$$d)\qquad 10.10^{-2}=1.10^{?}.$$

Queremos que a vírgula fique imediatamente na frente do 1, para isso vamos deslocá-la 1 casa decimal para a esquerda. Mas, ao deslocarmos a vírgula uma casa decimal para a esquerda, o expoente negativo de base 10 aumenta de um número ( -2 + 1 = -1 ), ou seja, de -2 sobe para -1. Lembre-se: -1 é maior que -2. Portanto,

$$10.10^{-2}=1.10^{-1}.$$

$$e)\qquad 100.10^{-3}=1.10^{?}.$$

Queremos que a vírgula fique imediatamente na frente do 1, para isso vamos deslocá-la duas casas decimais para a esquerda. Mas, ao deslocarmos a vírgula duas casas decimais para a esquerda, o expoente negativo de base 10 aumenta de dois números ( -3 + 2 = -1 ), ou seja, de -3 aumenta para -1. Lembre-se: -1 é maior que -3. Portanto,

$$100.10^{-3}=1.10^{-1}.$$

$$f)\qquad 23.10^{-4}=2,3.10^{?}.$$

Queremos que a vírgula fique imediatamente na frente do 2, para isso vamos deslocá-la uma casa decimal para a esquerda. Mas, ao deslocarmos a vírgula uma casa decimal para a esquerda, o expoente negativo de base 10 aumenta de um número ( -4 + 1 = -3 ), ou seja, de -4 aumenta para -3. Lembre-se: -3 é maior que -4. Portanto,

$$23.10^{-4}=2,3.10^{-3}.$$

$$g)\qquad 99999679.10^{-24}=9,9999679.10^{?}.$$

Queremos que a vírgula fique imediatamente na frente do 9, para isso vamos deslocá-la sete casas decimais para a esquerda. Mas, ao deslocarmos a vírgula sete casas decimais para a esquerda, o expoente negativo de base 10 aumenta de sete números ( -24 + 7 = -14 ), ou seja, de -24 aumenta para -17. Lembre-se: -17 é maior que -24. Portanto,

$$99999679.10^{-24}=9,9999679.10^{-17}.$$

$$h)\qquad 5,963148.10^{6}=596314,8.10^{?}.$$

No caso, queremos que a vírgula fique imediatamente na frente do 4, para isso vamos deslocá-la cinco casas decimais para a direita. Mas, ao deslocarmos a vírgula cinco casas decimais para a direita, o expoente negativo de base 10 diminui de cinco números ( 6 - 5 = 1 ), ou seja, de 6 diminui para 1. Portanto,

$$5,963148.10^{6}=596314,8.10^{1}.$$

$$i)\qquad 6,451789.10^{8}=6451,789.10^{?}.$$

No caso, queremos que a vírgula fique imediatamente na frente do 1, para isso vamos deslocá-la três casas decimais para a direita. Mas, ao deslocarmos a vírgula três casas decimais para a direita, o expoente negativo de base 10 diminui de três números ( 8 - 3 = 5 ), ou seja, de 8 diminui para 5.  Portanto,

$$6,451789.10^{8}=6451,789.10^{5}.$$

26º) Desafio para você: expresse em notação científica os seguintes números:

$$a)\qquad 596.10^{22}.$$

$$b)\qquad 16.10^{-20}.$$

$$c)\qquad 567,9.$$

$$d)\qquad 3456,9.$$

$$e)\qquad 566.10^{-6}.$$

$$f)\qquad 33.10^{-5}.$$

$$g)\qquad 651.10^{-9}.$$

Estas questões serão respondidas na continuação desse estudo em

NOTAÇÃO CIENTÍFICA - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS.

Bons estudos!

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COMO ESCREVER NÚMEROS EM NOTAÇÃO CIENTÍFICA

A notação científica é muito empregada nas Engenharias, na Física, na Matemática e em outras ciências. Por isso é urgente que os alunos do fundamental e médio usem essa ferramenta de cálculo. Já dissemos antes que existem várias técnicas para usar a notação científica, que são descritas em livros, apostilas, sites, mas, todas direcionam para o mesmo resultado.  Neste estudo vamos analisar e resolver 9 situações que envolvem técnicas de notação científica. A cada questão lida o aluno deverá tentar resolvê-la no seu caderno. Vamos lembrar que esse estudo é a continuação do módulo TÉCNICAS SOBRE NOTAÇÃO CIENTÍFICA  e que as equações desta minicurso foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o navegador Firefox. Bons estudos!

16º) 99999,999

Mesmo caso do exemplo anterior: sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 99999999), sem vírgula, por 10. Veja:

$$\Large 99999999.10^{?}.$$

Mas, o que colocar no expoente acima? Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula do 99999,999. No caso, existem 3 algarismos (999). Representar essa quantidade por -3 (pois a vírgula está à esquerda dos 3 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$\Large 99999999.10^{-3}.$$

Agora, queremos que a vírgula (subentendida, oculta), do número 99999999 (que está localizada em 99999999,) fique imediatamente após o primeiro 9, ou seja, vamos deslocá-la 7 casas decimais para a esquerda, assim: 9,9999999. O novo expoente a ser acrescentado será 7 (positivo). Assim:

$$\Large 9,9999999.10^{7}.10^{-3}=9,9999999.10^{4}.$$

Portanto,

$$\Large 99999,999=9,9999999.10^{4}.$$

Agora, refaça essa questão no seu caderno quantas vezes julgar necessário.

17º) 140,56

Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 14056), sem vírgula, por 10. Assim:

$$\Large 14056.10^{?}.$$

Mas, qual será o expoente acima? Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula do 140,56. No caso, existem 2 algarismos (56). Representar essa quantidade por -2 (pois a vírgula está à esquerda dos 2 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$\Large 14056.10^{-2}.$$

Agora, vamos localizar a vírgula, subentendida, do número 14056. Note que ela fica após o 6, veja: 14056, - queremos que essa vírgula fique imediatamente após o 1 ou seja, vamos deslocá-la 4 casas decimais para a esquerda, assim: 1,4056. O expoente a ser acrescentado será o 4 (positivo). Assim:

$$\Large 1,4056.10^{4}.10^{-2}=1,4056.10^{2}.$$

Portanto,

$$\Large 140,56=1,4056.10^{2}.$$

Agora, refaça essa questão no seu caderno quantas vezes julgar necessário.

18º) 16,78

Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 1678), sem vírgula, por 10. Assim:

$$\Large 1678.10^{?}.$$

Mas, qual será o expoente acima? Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula do 16,78. No caso, existem 2 algarismos (78). Representar essa quantidade por -2 (pois a vírgula está à esquerda dos 2 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$\Large 1678.10^{-2}.$$

Vamos localizar a vírgula (subentendida) do número 1678. Note que ela fica após o 8, veja: 1678, - queremos que essa vírgula fique imediatamente após o 1 ou seja, vamos deslocá-la 3 casas decimais para a esquerda, assim: 1,678. O expoente a ser acrescentado será o 3 (positivo). Assim:

$$\Large 1,678.10^{3}.10^{-2}=1,678.10^{1}.$$

Portanto,

$$\Large 16,78=1,678.10^{1}.$$

Agora, refaça essa questão no seu caderno quantas vezes julgar necessário.

19º) 156.10³

Será que a nossa técnica dará certo para esse número? Sim. Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 156) por 10. Assim:

$$\Large 156.10^{?}.10^{3}.$$

Mas, o que colocar no primeiro expoente? Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula do 156 (ou seja, do 156,). No caso, não existe nenhum algarismo explícito. Representar essa quantidade por zero (0) e colocá-la como expoente da base 10 e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$\Large 156.10^{0}.10^{3}.$$

Lembrando que

$$\Large 10^{0}=1.$$

Já localizamos a vírgula, subentendida, do número 156. Notamos que ela fica após o 6, veja: 156, - queremos que essa vírgula fique imediatamente após o 1 ou seja, vamos deslocá-la 2 casas decimais para a esquerda, assim: 1,56. O expoente a ser acrescentado será o 2 (positivo). Assim:

$$\Large 1,56.10^{2}.1.10^{3}=1,56.10^{5}=1,56.10^{5}.$$

Portanto,

$$\Large 156.10^{3}=1,56.10^{5}.$$

Agora, refaça essa questão no seu caderno quantas vezes julgar necessário. 

20º) 267,9 

Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 2679), sem vírgula, por 10. Assim:

$$\Large 2679.10^{?}.$$

Mas, o que colocar no expoente acima? Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula do 267,9. No caso, existe 1 algarismo (9). Representar essa quantidade por -1 (pois a vírgula está à esquerda desse algarismo) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$\Large 2679.10^{-1}.$$

Vamos localizar a vírgula, subentendida, do número 2679. Note que ela fica após o 9, veja: 2679, - queremos que essa vírgula fique imediatamente após o 2 ou seja, vamos deslocá-la 3 casas decimais para a esquerda, assim: 2,679. O expoente a ser acrescentado será o 2 (positivo). Assim:

$$\Large 2,679.10^{3}.10^{-1}=2,679.10^{2}.$$

Portanto,

$$\Large 267,9=2,679.10^{2}.$$

Agora, refaça essa questão no seu caderno quantas vezes julgar necessário.

21º) 15

E agora, aplicaremos a mesma regra? Sim, sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 15) por 10. Assim:

$$\Large 15.10^{?}.$$

Mas, o que colocar no expoente acima? Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula (do 15,). No caso, não existe nenhum algarismo explícito. Representar essa quantidade por zero (0) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$\Large 15.10^{0}.$$

Lembrando que

$$\Large 10^{0}=1.$$

Após localizar a vírgula, subentendida, do número 15, - queremos que essa vírgula fique imediatamente após o 1 ou seja, vamos deslocá-la 1 casa decimal para a esquerda, assim: 1,5. O expoente a ser acrescentado será o 1 (positivo). Assim:

$$\Large 1,5.10^{1}.10^{0}=1,5.10^{1}.1=1,5.10^{1}.$$

Portanto,

$$\Large 15=1,5.10^{1}.$$

Agora, refaça essa questão no seu caderno quantas vezes julgar necessário. 

22º) 2

E neste caso, aplicaremos a mesma regra? Sim, sempre multiplicar os algarismo diferente de zero (no caso, 2) por 10. Assim:

$$\Large 2.10^{?}.$$

Mas, o que escrever no expoente acima? Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula (do 2,). No caso, não existe nenhum algarismo explícito. Representar essa quantidade por zero (0) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$\Large 2.10^{0}.$$

Vamos lembrar que

$$\Large 10^{0}=1.$$

Portanto,

$$\Large 2=2.10^{0}=2.1=2.$$

Agora, refaça essa questão no seu caderno quantas vezes julgar necessário. 

23º) Para refletir: note que no número abaixo, ao deslocarmos a vírgula para a esquerda, o expoente positivo de base 10 aumenta.

$$\Large 5963148.10^{0}=5963148.1.=5963148.$$

$$\Large 596314,8.10^{1}=5963148.$$

$$\Large 59631,48.10^{2}=5963148.$$

$$\Large 5963,148.10^{3}=5963148.$$

$$\Large 596,3148.10^{4}=5963148.$$

$$\Large 59,63148.10^{5}=5963148.$$

$$\Large 5,963148.10^{6}=5963148.$$

No último exemplo notamos que a vírgula ficou imediatamente na frente do 5, para isso tivemos que deslocá-la 6 casas decimais para a esquerda, ou seja, 5,963148. Mas, ao deslocarmos a vírgula seis casas decimais para a esquerda, o expoente positivo de base 10 aumenta de seis números.

24º) Para refletir: note que no número abaixo (0,314145), ao deslocarmos a vírgula para a direita, o expoente negativo de base 10 diminui. Aqui, a propósito, queremos que a vírgula chegue até o final do último algarismo (5).

$$\Large 0,314145.10^{0}=0,314145.1=0,314145.$$

$$\Large 3,14145.10^{-1}=0,314145.$$

$$\Large 31,4145.10^{-2}=0,314145.$$

$$\Large 314,145.10^{-3}=0,314145.$$

$$\Large 3141,45.10^{-4}=0,314145.$$

$$\Large 31414,5.10^{-5}=0,314145.$$

$$\Large 314145.10^{-6}=0,314145.$$

No último exemplo notamos que a vírgula ficou imediatamente (e subentendida) na frente do 5, para isso tivemos que deslocá-la deslocá-la 6 casas decimais para a direita, ou seja, 314145,. Mas, ao deslocarmos a vírgula seis casas decimais para a direita, o expoente negativo de base 10 diminui de seis números.

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APRENDENDO TÉCNICAS SOBRE NOTAÇÃO CIENTÍFICA

Vamos dar continuidade ao estudo sobre o desenvolvimento de técnicas para representar números, dessa vez maiores que 1, em números decimais que contêm potências de base 10. Existem muitas maneiras diferentes de fazer essas representações, que são descritas em livros, em apostilas e em sites. Porém, alguns alunos acham muito difícil e complicada a linguagem de resolução adotada nessas representações e perdem a vontade de prosseguir, pois perdem o ânimo e incentivo em resolvê-las. Neste curso vamos resolver 5 situações, todas com o mesmo raciocínio e técnica de resolução (através de repetições). Mas, você aprenderá de verdade se, após a leitura da resolução das questões, exercitá-las no caderno. Espero que isso ajude você em seus estudos. Vamos lembrar que as equações desta aula foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o navegador Firefox. Bons estudos!

Representar os números decimais (maiores que 1), a seguir, em números com potências de base 10.

11º) 42000

Passos:

Baseado na técnica do estudo anterior (COMO TRANSFORMAR DECIMAIS EM POTÊNCIAS DE BASE 10), sempre multiplicaremos os algarismos diferentes de zero (no caso, o 42) por 10. Assim:

$$\Large 42.10^{?}.$$ 

Mas, o que colocar no expoente acima? Conferimos quantos zeros temos em 42000. Temos 3 zeros. Essa quantidade (3) será colocada no expoente, veja:

$$\Large 42.10^{3}.$$

Em notação científica a vírgula fica imediatamente após o primeiro algarismo (no caso, o 4) e o chamamos de n, um número natural maior ou igual a 1 e menor que 10, ou seja, 1 ≤ n < 10. Agora, queremos que a vírgula fique imediatamente após o 4 (do 42), como proceder? Vamos localizar a vírgula, subentendida, do número 42. Note que ela fica após o 2, veja: 42, - queremos que essa vírgula fique imediatamente após o 4, ou seja, vamos deslocá-la 1 casa para a esquerda, assim: 4,2. Como 4,2 é um número maior que 1, então, a regra diz que o novo expoente a ser acrescentado será o 1 (positivo). Assim:

$$\Large 4,2.10^{1}.10^{3}=4,2.10^{4}.$$

Portanto,

$$\Large 42000=4,2.10^{4}.$$

Agora, refaça essa questão no seu caderno quantas vezes julgar necessário.

12º) 2000
 
Passos:

Baseado na técnica da questão anterior sempre multiplicaremos os algarismos diferentes de zero (no caso, o 2) por 10. Assim: 

$$\Large 2.10^{?}.$$

Mas, qual será o expoente acima? Conferimos quantos zeros temos em 2000. Temos 3 zeros. Essa quantidade (3) vai para o expoente, veja:

$$\Large 2.10^{3}.$$

Portanto,

$$\Large 2000=2.10^{3}.$$

Agora, refaça essa questão no seu caderno quantas vezes julgar necessário.

13º) 2570000

Passos:

Baseado na técnica das questões anteriores, sempre multiplicaremos os algarismos diferentes de zero (no caso, o 257) por 10. assim:

$$\Large 257.10^{?}.$$

Mas, o que colocar no expoente acima? Conferimos quantos zeros temos em 2570000. Temos 4 zeros. Essa quantidade (4) vai para o expoente, veja:

$$\Large 257.10^{4}.$$ 

Agora, queremos que a vírgula fique imediatamente após o 2 (do 257), como proceder? Vamos localizar a vírgula, subentendida, do número 257. Note que ela fica após o 7, veja: 257, - queremos que essa vírgula fique imediatamente após o 2, para isso, vamos deslocá-la 2 casas decimais para a esquerda, assim: 2,57. Como 2,57 é um número maior que 1, então, a regra diz que o novo expoente a ser acrescentado será 2 (positivo). Assim:

$$\Large 2,57.10^{2}.10^{4}=2,57.10^{6}.$$

Portanto,

$$\Large 2570000=2,57.10^{6}.$$

Agora, refaça essa questão no seu caderno quantas vezes julgar necessário.  

14º) 100

Passos:

Multiplicaremos o algarismo diferente de zero (no caso, 1) por 10. Assim:

$$\Large 1.10^{?}.$$

Mas, qual será o expoente acima? Conferimos quantos zeros temos em 100. Temos 2 zeros. Essa quantidade (2) vai para o expoente, veja:

$$\Large 1.10^{2} = 10^{2}.$$

Portanto,

$$\Large 100=10^{2}.$$

Agora, refaça essa questão no seu caderno quantas vezes julgar necessário.  

15º) 17,65

Como fica nossa técnica nesse caso, será que dá certo? Sim, faça o mesmo procedimento: sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 1765), sem vírgula, por 10. Assim:

$$\Large 1765.10^{?}.$$

Mas, o que colocar no expoente? Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula do 17,65. No caso, existem 2 algarismos (65). Representar essa quantidade por -2 (pois a vírgula está à esquerda desses 2 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim: 

$$\Large 1765.10^{-2}.$$

Queremos que a vírgula, subentendida, do número 1765 (que está localizada em 1765,) fique imediatamente após o 1 ou seja, vamos deslocá-la 3 casas decimais para a esquerda, assim: 1,765. Como 1,765 é um número maior que 1, então, a regra diz que o novo expoente a ser acrescentado será 3 (positivo). Assim:

$$\Large 1,765.10^{3}.10^{-2}= 1,765.10^{1}.$$

Portanto,

$$\Large 17,65=1,765.10^{1}.$$

Agora, refaça essa questão no seu caderno quantas vezes julgar necessário.

A continuação desse estudo está em

COMO ESCREVER NÚMEROS EM NOTAÇÃO CIENTÍFICA.

Bons estudos!

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COMO TRANSFORMAR DECIMAIS EM POTÊNCIAS DE BASE 10

Nossos alunos do Fundamental e médio devem sempre utilizar técnicas matemáticas que lhes proporcionem o desenvolvimento de resoluções de problemas. Hoje vamos aprender uma técnica, muito fácil, que nos ajudará a representar números decimais, menores que 1, em números de potências de base 10. Essa técnica é muito usada nas áreas de Física, Engenharias e cursos técnicos. Vamos lembrar que as equações desta aula foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o navegador Firefox. Bons estudos!

Representar os números decimais (menores que 1), a seguir, em números com potências de base 10.

1º) 0,2.

Primeiro passo:

Sempre multiplicar o algarismo diferente de zero (no caso, o 2) por 10. Assim:

$$2.10^{?}.$$

Segundo passo:

Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula. No caso, existe apenas 1 (que é o 2). Representar essa quantidade por -1, (pois a vírgula está à esquerda do algarismo 2) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$2.10^{-1}.$$

2º) 0,0023.

Primeiro passo:

Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 23) por 10. Assim:

$$23.10^{?}.$$

Segundo passo:

Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula. No caso, existem 4 algarismos (0023). Representar essa quantidade por -4 (pois a vírgula está à esquerda dos 4 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$23.10^{-4}.$$

3º) 0,00000000679.

Primeiro passo:

Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 679) por 10. Assim:

$$679.10^{?}.$$

Segundo passo:

Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula. No caso, existem 11 algarismos (00000000679). Representar essa quantidade por -11 (pois a vírgula está à esquerda dos 11 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$679.10^{-11}.$$

4º) 0,99.

Primeiro passo:

Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, 99) por 10. Assim:

$$99.10^{?}.$$

Segundo passo:

Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula. No caso, existem 2 algarismos (99). Representar essa quantidade por -2 (pois a vírgula está à esquerda dos 2 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$99.10^{-2}.$$

5º) 0,1.

Primeiro passo:

Sempre multiplicar o algarismo diferente de zero (no caso, o 1) por 10. Assim:

$$1.10^{?}.$$

Segundo passo:

Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula. No caso, existem 1 algarismo (1). Representar essa quantidade por -1 (pois a vírgula está à esquerda do algarismo 1) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$1.10^{-1}=10^{-1}.$$

6º) 0,10.

Primeiro passo:

Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 10) por 10. Assim:

$$10.10^{?}.$$

Segundo passo:

Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula. No caso, existem 2 algarismos (10). Representar essa quantidade por -2 (pois a vírgula está à esquerda dos 2 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$10.10^{-2}=10^{-1}.$$

Mesma resposta do exemplo anterior.

7º) 0,100.

Primeiro passo:

Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 100) por 10. Assim:

$$100.10^{?}.$$

Segundo passo:

Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula. No caso, existem 3 algarismos (100). Representar essa quantidade por -3 (pois a vírgula está à esquerda dos 3 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$100.10^{-3}=10^{2}.10^{-3}=10^{-1}.$$

Mesma resposta do exemplo anterior.

8º) 0,0023.

Primeiro passo:

Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 23) por 10. Assim:

$$23.10^{?}.$$

Segundo passo:

Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula. No caso, existem 4 algarismos (0023). Representar essa quantidade por -4 (pois a vírgula está à esquerda dos 4 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$23.10^{-4}.$$

9º) 0,00000000679.

Primeiro passo:

Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 679) por 10. Assim:

$$679.10^{?}.$$

Segundo passo:

Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula. No caso, existem 11 algarismos (00000000679). Representar essa quantidade por -11 (pois a vírgula está à esquerda dos 11 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$679.10^{-11}.$$

10º) 0, 000000000000000099999679.

Primeiro passo:

Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 99999679) por 10. Assim:

$$99999679.10^{?}.$$

Segundo passo:

Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula. No caso, existem 24 algarismos (000000000000000099999679). Representar essa quantidade por -24 (pois a vírgula está à esquerda dos 24 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$99999679.10^{-24}.$$

11º) Desafio para você: colocando-se a vírgula imediatamente após o primeiro algarismo das questões abaixo, determine seus expoentes.

 $$a)\qquad 23.10^{-4}=2,3.10^{?}.$$

 $$b)\qquad 679.10^{-11}=6,79.10^{?}.$$

 $$c)\qquad 99.10^{-2}=9,9.10^{?}.$$

 $$d)\qquad 10.10^{-2}=1.10^{?}.$$

 $$e)\qquad 100.10^{-3}=1.10^{?}.$$

 $$f)\qquad 23.10^{-4}=2,3.10^{?}.$$

 $$g)\qquad 679.10^{-11}=6,79.10^{?}.$$

 $$h)\qquad 99999679.10^{-24}=9,9999679.10^{?}.$$

Estas questões serão respondidas no decorrer do minicurso. A continuação desse estudo está em

APRENDENDO TÉCNICAS SOBRE NOTAÇÃO CIENTÍFICA.

Bons estudos!

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A PROFESSORA E O SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO

ESSA É MUITO BOA!!!!!!!!

Havia certa vez um homem navegando com seu balão, por um lugar desconhecido. Ele estava completamente perdido, e qual grande foi sua surpresa quando encontrou uma pessoa... Ao reduzir um pouco a altitude do balão, em uma distância de 10m aproximadamente, ele gritou para a pessoa:

- Hei, você aí , aonde eu estou? E então a jovem respondeu:

- Você está num balão a 10 m de altura!

Então o homem fez outra pergunta:

- Você é professora, não é?

A moça respondeu:

- Sim...puxa! Como o senhor adivinhou?

E o homem:

- É simples, Você me deu uma resposta tecnicamente correta, mas que não me serve para nada...

Então a professora pergunta:

- O senhor é secretário da educação, não é?

E o homem:

- Sou...Como você adivinhou???

E a Professora:

- Simples: o senhor está completamente perdido, não sabe fazer nada e ainda quer colocar a culpa no professor.

Profª Pábula Monteiro ( E não sou culpada...)

Gostaram? Comentem!

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OPERAÇÕES COM BRA-KETS

Nas aulas anteriores foram dadas noções sobre os estados kets, seus duais (veja o estudo sobre os bras), suas notações, correspondência dual, bra-kets, operadores, propriedades do produto interno entre o bra e o ket, etc. Hoje, vamos continuar este assunto aprofundando-o mais um pouco. Tentaremos descrever por etapas, através do formalismo matemático da Mecânica Quântica, as leis probabilísticas da natureza no pequeníssimo mundo das partículas atômicas. É muito difícil explicar uma notação matemática abstrata de maneira que todos a possam entender, mas vamos tentar fazê-lo, afinal essa é uma das funções do licenciado em Física. Bons estudos!

Em todos os espaços vetoriais existem duas operações comuns: a multiplicação por um escalar e a adição de vetores. Outro aspecto de muitos espaços vetoriais é a existência da operação chamada produto interno. Já estamos familiarizados com estas operações em espaços euclidianos tridimensionais e, nesta postagem, vamos fazer analogias das mesmas com o espaço de Hilbert(H), ou seja, um espaço vetorial de dimensão infinita onde a linguagem da Mecânica Quântica pode formular-se em termos de espaço vetorial por meio de uma notação, criada por Paul Dirac, chamada de notação bra-ket.

VETOR NORMALIZADO

Sabemos que um vetor unitário (versor) em um espaço vetorial normalizado possui comprimento 1. Já temos noções sobre a  definição de produto escalar (estudo guardado no disco virtual Scribd) entre dois versores. Como exemplo veremos que, dado um vetor unitário, podemos formar um vetor normalizado da seguinte maneira:

$$\hat{\alpha}=\frac{\vec{\alpha}}{\left\|\vec{\alpha}\right\|} =\frac{\vec{\alpha}}{\sqrt{\left\alpha\right\ }},$$

ou seja, qualquer vetor não nulo (no exemplo acima, o vetor unitário) dividido pela sua norma é chamado de vetor unitário ou normalizado.

Sendo estes dois vetores paralelos (na origem 0), com angulo teta igual a zero, obteremos, por definição de produto escalar, um número (chamado escalar), veja:

$$\hat{\alpha}\cdot\hat{\alpha}= \alpha \alpha cos\theta=1.1.1=1.$$

Vamos fazer uma analogia do vetor unitário, do exemplo acima, com o vetor de estado ket. Dado um ket

$$|\alpha\rangle\ $$

não nulo, podemos formar um ket

$$|\tilde{\alpha}\rangle$$

normalizado da seguinte forma:

$$|\tilde{\alpha}\rangle=\left( \sqrt{\frac{1}{\langle \alpha|\alpha\rangle} } \right) |\alpha\rangle=\frac{\sqrt{1} }{\sqrt{\langle \alpha|\alpha\rangle} }|\alpha\rangle$$

que equivale a

$$|\tilde{\alpha}\rangle=\frac{1}{\sqrt{\langle \alpha|\alpha\rangle} }|\alpha\rangle=\frac{|\alpha\rangle}{\sqrt{\langle \alpha|\alpha\rangle}} ,$$

com a propriedade

$$\langle \tilde{\alpha} |\tilde{\alpha}\rangle=1.$$

Em geometria euclidiana a definição de módulo ou norma do versor

$${\hat{\alpha}}$$

é dada por

$$\hat{\alpha} =\left| \hat{\alpha}\right| =\sqrt{\hat{\alpha}\cdot\hat{\alpha}}=1.$$

Fazendo analogia com a definição acima, a norma do estado quântico (ket), representado pelo vetor unitário

$$|\alpha\rangle\ $$

é dada pela expressão

$$\left| |\alpha\rangle \right| =\sqrt{\langle \alpha|\alpha\rangle}.$$

Isso nos faz deduzir que, se a norma ou magnitude de um vetor unitário é igual a 1, então

$$\langle \alpha|\alpha\rangle=1.$$

Portanto, qualquer vetor não nulo dividido pela sua norma é chamado de vetor unitário ou normalizado. No espaço ket, apenas a direção é importante na representação de um estado físico, por isso convém que os kets usados para representar os estados sejam normalizados.

Resumindo o que já aprendemos: Um sistema físico é estudado por meio de informações oriundas de suas medições. O conjunto de todas as informações possíveis do sistema, em um certo tempo, define o seu estado quântico e todos os estados quânticos são representados por vetores não nulos em um espaço vetorial chamado espaço de Hilbert (H) que é um generalização do espaço euclidiano. Um estado quantico é representado por um vetor unitário (ket) e a soma algébrica de dois estados também é um estado. Estudamos também que a norma de um vetor unitário é igual a 1. A norma de vetores de estado não possui significado físico, portanto, todos os vetores devem ser normalizados.

Em geometria euclidiana dois vetores distintos são ortogonais quando o seu produto escalar for igual a zero. Na postagem anterior foi dado noções sobre vetores ortogonais e vimos que

$$\langle\alpha|\beta\rangle\ = 0$$

e, isso nos faz deduzir que

$$\langle\beta| \alpha\rangle\ =0.$$

OPERADORES

Vamos estabelecer uma analogia entre o conceito de função f(x) e de operador. Uma função f(x) traduz uma regra de correspondência entre dois números, ou seja, entre o x (variável independente) e y = f(x) (variável dependente). Podemos aplicar esta regra de correspondência entre vetores usando operadores. Vamos estabelecer esta regra de correspondência no espaço H (de Hilbert) com o seguinte exemplo: O operador X, ao atuar sobre o vetor-H (vetor de estado no espaço de Hilbert) chamado ket alfa, transforma este vetor no vetor-H, chamado ket gama. Veja:

$$X|\alpha\rangle\ =|\gamma\rangle\ .$$

OPERADORES ATUANDO EM KETS

Sabemos que os observáveis, no espaço vetorial, são representados por operadores. No post anterior estudamos que os operadores atuam nos kets pela esquerda.

► OPERADORES IGUAIS

Se

$$X| \alpha\rangle\ =Y| \alpha\rangle\ ,$$

podemos dizer que os operadores X e Y são iguais.

► OPERADOR NULO

Se

$$X| \alpha\rangle\ =0,$$

podemos dizer que o operadores X é nulo.

► ADIÇÃO DE OPERADORES

Propriedade comutativa:

$$X+Y=Y+X.$$

Propriedade associativa:

$$X+(Y+Z)=(X+Y)+Z.$$

Obs: Já estudamos que um operador sempre atua em um ket pelo lado esquerdo resultando em outro ket, veja:

$$\left( X\cdot | \alpha\rangle\right) =X|\alpha\rangle\ .$$

OPERADOR LINEAR

Um operador é linear quando

$$X\left( c_{\alpha} | \alpha\rangle\ +c_{\beta } | \beta \rangle\ \right)=c_{\alpha}X | \alpha\rangle\ +c_{\beta} X|\beta \rangle\ .$$

OPERADORES ATUANDO EM BRAS

Um operador sempre atua em um bra pelo lado direito resultando em outro bra, veja:

$$\left(\langle \alpha|\cdot X\right)=\langle \alpha| X.$$

Já estudamos que

$$|\alpha\rangle\overset{CD}{\leftrightarrow}\langle \alpha|,$$

porém,  o ket

$$X|\alpha\rangle\ $$

e o bra

$$\langle \alpha|X$$

não são duais. Como fazê-los duais? Veremos.

OPERADOR HERMITIANO

Quantidades como energia, posição, spin, etc que podem ser medidas, são representadas por operadores chamados hermitianos (observáveis). X é denominado operador hermitiano quando

$$X=X^{\dagger},$$

onde

$$X^{\dagger}$$

é chamado adjunto de X ou adjunto hermitiano, a fim de que

$$X|\alpha\rangle\overset{CD}{\leftrightarrow}\langle \alpha|X^{\dagger}$$

Continua com multiplicação de operadores. Não perca!

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