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domingo, 12 de setembro de 2010

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS COM COEFICIENTES CONSTANTES - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS


RAÍZES REAIS E DISTINTAS

Muitos fenômenos físicos são descritos por algum tipo de equação diferencial, por exemplo, na física clássica com o oscilador harmônico simples, oscilador harmônico amortecido, oscilador harmônico forçado, no eletromagnetismo com o circuito RLC, circuito RLC subcrítico e circuito LC. Assim, são inúmeras as aplicações das equações diferenciais, por isso, é muito útil conhecer alguns métodos de resolução dessas equações.

Vamos resolver algumas equações diferenciais com coeficientes constantes, cujas raízes de suas equações características são reais e distintas.


A forma padrão de uma equação diferencial ordinária de ordem 2, homogêneas e com coeficientes constantes é a seguinte:

$$a\frac{d^{2}y}{dx^{2} }+b\frac{dy}{dx}+cy = 0$$

ou

$$ay"+by'+cy=0.$$

1º) Calcule a solução geral da equação diferencial

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2} }-4y = 0.$$

- Primeiro passo: indicar as constantes reais a, b e c, pois vamos usá-las ( no sexto passo) para determinar as raízes da equação característica.

A equação diferencial pode ser escrita como

$$y''-4y=0$$

que comparada com

$$ay"+by'+cy=0,$$

temos

a = 1, b = 0 e c = -4.

- Segundo passo: aceitar que a solução é do tipo exponencial da forma

$$y(x)=e^{mx}.$$

- Terceiro passo: derivar a solução exponencial acima.


$$\frac{dy}{dx}= \frac{d(e^{mx}) }{dx} =me^{mx}.$$

- Quarto passo: derivar pela segunda vez a solução exponencial.


$$\frac{d^{2} y}{dx^{2} }=\frac{d}{dx}\left( \frac{d(e^{mx}) }{dx} \right)=\frac{d\(me^{mx}) }{dx}= m^{2} e^{mx}.$$

- Quinto passo: substituir o resultado acima e a solução exponencial (do segundo passo) na equação diferencial.


$$\frac{d^{2}y}{dx^{2} }-4y = 0 \rightarrow m^{2} e^{mx}-4e^{mx}=0 \rightarrow e^{mx}( m^{2} -4)=0.$$

Portanto, a chamada equação característica é dada por:

$$(m^{2} -4)=\frac{0}{e^{mx}}=0\rightarrow m^{2} -4=0.$$

- Sexto passo: achar as raízes da equação característica.

É uma equação do segundo grau, cujas raízes são: m1 = 2 ou m2 = -2, que são reais e distintas.

- Sétimo passo: Achar as soluções LI - linearmente independentes (soluções diferentes) da equação diferencial.

Substituindo as raízes da equação característica na equação da solução exponencial (lá do segundo passo), temos que

$$y_{1} =e^{2x}$$

e

$$y_{2} =e^{-2x}.$$

Obs: para verificar se as soluções acima são LI, basta calcular seu Wronskiano. Se for diferente de zero, a combinação linear das soluções é a solução geral da equação diferencial.

- Oitavo passo: finalmente, achar a solução geral da equação diferencial.

As soluções LI formam a solução geral. Quando as raízes são reais e diferentes a solução geral da equação diferencial é dada por

$$y(x)=c_{1} e^{m_{1} x} +c_{2} e^{m_{2} x}.$$

Portanto,

$$y(x)=c_{1} e^{2x}} +c_{2} e^{-2 x},$$

onde c1 e c2 são constantes arbitrárias.

2º) Calcule a solução geral da equação diferencial

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2} }-9y = 0.$$

- Primeiro passo: indicar quais são as constantes reais a, b e c.

A equação diferencial acima pode ser escrita como

$$y''-9y=0$$

que comparada com

$$ay"+by'+cy=0,$$

temos

a = 1, b = 0 e c = -9.

- Segundo passo: aceitar que a solução é do tipo exponencial da forma

$$y(x)=e^{mx}.$$

- Terceiro passo: derivar a solução exponencial acima.

$$\frac{dy}{dx}= \frac{d(e^{mx}) }{dx} =me^{mx}.$$

- Quarto passo: derivar pela segunda vez a solução exponencial.

$$\frac{d^{2} y}{dx^{2} }=\frac{d}{dx}\left( \frac{d(e^{mx}) }{dx} \right)=\frac{d\(me^{mx}) }{dx}= m^{2} e^{mx}.$$

- Quinto passo: substituir o resultado acima e a solução exponencial na equação diferencial.

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2} }-9y = 0 \rightarrow m^{2} e^{mx}-9e^{mx}=0 \rightarrow e^{mx}( m^{2} -9)=0.$$

Portanto, a equação característica é dada por:

$$(m^{2} -9)=\frac{0}{e^{mx}}=0\rightarrow m^{2} -9=0.$$

- Sexto passo: achar as raízes da equação característica.

A nossa equação característica é do segundo grau, cujas raízes são: m1 = 3 ou m2 = -3, que são reais e distintas.

- Sétimo passo: Achar as soluções linearmente independentes (LI) da equação diferencial. Substituindo as raízes da equação característica na equação da solução exponencial (lá segundo passo), temos que

$$y_{1} =e^{3x}$$

e

$$y_{2} =e^{-3x}.$$

- Oitavo passo: finalmente, achar a solução geral da equação diferencial.

As soluções LI formam a solução geral. Quando as raízes são reais e diferentes a solução geral da equação diferencial é dada por

$$y(x)=c_{1} e^{m_{1} x} +c_{2} e^{m_{2} x}.$$

Portanto,

$$y(x)=c_{1} e^{3x}} +c_{2} e^{-3 x},$$

onde c1 e c2 são constantes arbitrárias.

Clique no link abaixo e compare a solução geral  desta equação diferencial:


3º) Calcule a solução geral da equação diferencial

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2} }+5\frac{dy}{dx} +6y = 0.$$

- Primeiro passo: indicar quais são as constantes reais a, b e c.

A equação diferencial acima pode ser escrita como

$$y''+5y'+6y=0$$

que comparada com

$$ay"+by'+cy=0,$$

teremos

a = 1, b = 5 e c = 6.

- Segundo passo: aceitar que a solução é do tipo exponencial da forma

$$y(x)=e^{mx}.$$

- Terceiro passo: derivar a solução exponencial acima.

$$\frac{dy}{dx}= \frac{d(e^{mx}) }{dx} =me^{mx}.$$

- Quarto passo: derivar pela segunda vez a solução exponencial.

$$\frac{d^{2} y}{dx^{2} }=\frac{d}{dx}\left( \frac{d(e^{mx}) }{dx} \right)=\frac{d\(me^{mx}) }{dx}= m^{2} e^{mx}.$$

- Quinto passo: substituir o resultado acima e a solução exponencial na equação diferencial.

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2} }+5\frac{dy}{dx} +6y = 0 \rightarrow m^{2} e^{mx}+5me^{mx}+6e^{mx}=0 \rightarrow e^{mx}( m^{2} +5m+6)=0.$$

Portanto, a equação característica é dada por:

$$m^{2} +5m+6=0.$$

- Sexto passo: achar as raízes da equação característica.

A nossa equação característica é do segundo grau, cujas raízes são: m1 = -2 ou
m2 = -3, que são reais e distintas.

- Sétimo passo: Achar as soluções linearmente independentes (LI) da equação diferencial. Substituindo as raízes da equação característica na equação da solução exponencial (lá do segundo passo), temos que

$$y_{1} =e^{-2x}$$

e

$$y_{2} =e^{-3x}.$$

- Oitavo passo: finalmente, achar a solução geral da equação diferencial.

As soluções LI formam a solução geral. Quando as raízes são reais e diferentes a solução geral da equação diferencial é dada por

$$y(x)=c_{1} e^{m_{1} x} +c_{2} e^{m_{2} x}.$$

Portanto,

$$y(x)=c_{1} e^{-2x}} +c_{2} e^{-3 x},$$

onde c1 e c2 são constantes arbitrárias.

Na próxima etapa deste estudo vamos resolver algumas equações diferenciais com coeficientes constantes, cujas raízes de suas equações características são reais e iguais.

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