-->

31 de agosto de 2010

SÉRIE DE TAYLOR PARTE III - EXERCÍCIOS RESPONDIDOS


Série Taylor
Existem idéias importantes contidas no Methodus incrementorum directa et inversa de 1715, que não foram reconhecidas na época, como exemplos, uma discussão sobre cordas vibrantes (um interesse que certamente vem do amor precoce de Taylor pela música), soluções singulares para equações diferenciais e uma maneira de relacionar a derivada de uma função com a derivada da função inversa. Taylor, em seus estudos de cordas vibrantes não estava tentando estabelecer uma equação do movimento, mas estava considerando a oscilação de uma corda flexível em termos de isocronismo de um pêndulo. Ele tentou encontrar a forma de vibração da corda e do comprimento do pêndulo isócrono em vez de encontrar suas equações de movimento.

Daremos continuidade ao nosso estudo sobre expansão em séries de Taylor. Lembrando que o estudo anterior está aqui: TAYLOR - PARTE II.

Dando continuidade ao estudo anterior trataremos a nossa lista de exercícios a partir da 7ª questão:

7) Dada a função
$$f(x)=senx,$$

expanda-a em série de Taylor, com aproximação até terceira ordem, em torno de xo = 0 (ou a = 0).

- Primeiro passo: calcular f(xo) = f(0).

Substituindo 0 na função f(x)=senx, temos que

$$f(0)=sen0=0.$$

- Segundo passo: calcular f'(0).

Derivando a função

$$f(x)=senx,$$

obteremos

$$f'(x)=cosx.$$

Portanto,

$$f'(0)=cos0=1.$$

- Terceiro passo: calcular f''(0).

Derivando a função

$$f'(x)=cosx,$$

vamos obter

$$f''(x)=-senx.$$
Portanto,

$$f''(0)=-sen0=0.$$

- Quarto passo: Achar f'''(0).

Derivando a função

$$f''(x)=-senx.$$

temos que

$$f'''(x)=-cosx.$$

Portanto,

$$f'''(0)=-cos0=-1.$$

- Quinto passo: substituir f(0), f'(0), f''(0), f'''(0) e xo = 0 na fórmula de Taylor, no caso:

$$f(x)=f(x_{0} )+\frac{f'(x_{0})(x-a)^{1} }{1!} +\frac{f''(x_{0})(x-a)^{2} }{2!}$$

$$+\frac{f'''(x_{0})(x-a)^{3} }{3!},$$

e teremos

$$f(x)=f(0)+\frac{f'(0)(x-0)^{1} }{1!} +\frac{f''(0)(x-0)^{2} }{2!}$$

$$+\frac{f'''(0)(x-0)^{3} }{3!}\rightarrow$$

$$f(x)=0+\frac{1(x-0)^{1} }{1!}+\frac{0(x-0)^{2} }{2!} -\frac{1(x-0)^{3} }{3!}\rightarrow$$

$$f(x)=0+x +0 -\frac{x^{3} }{3!} =x -\frac{x^{3} }{3!}.$$

Portanto,

$$f(x)=senx =x -\frac{x^{3} }{3!}.$$

Se a expansão for com aproximação até quinta ordem, teremos

$$senx =x -\frac{x^{3} }{3!}+\frac{x^{5} }{5!} -\cdots$$

com x em radianos. Esta expansão é muito usada na Física.

Observação:quando x for muito menor que 1, podemos aproximar senx pela expressão

$$senx \simeq x -\frac{x^{3} }{3!}.$$

Se x for maior que 1, serão necessários mais termos na série.

8) Dada a função

$$f(x)=(1+x)^{-\frac{1}{2}},$$

expanda-a em série de Taylor, com aproximação até terceira ordem, em torno de a = 0 (ou xo=0).

- Primeiro passo: calcular f(a) = f(0).

Substituindo 0 na função

$$f(x)=(1+x)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{{(1+x)}^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{(1+x)}}$$


temos que

$$f(0)=\frac{1}{\sqrt{(1+0)}}=\frac{1}{1} =1.$$

 - Segundo passo: calcular f'(0).

Derivando a função

$$f(x)=(1+x)^{-\frac{1}{2}}$$

obteremos

$$f'(x)=-\frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{1}{2}-1}\cdot \frac{d(1+x)}{dx}=$$

$$-\frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{3}{2}}.1=-\frac{1}{2(1+x)^{ \frac{3}{2}}}=-\frac{1}{2(\sqrt{1+x})^{3}}.$$
Portanto,

$$f'(0)=-\frac{1}{2(\sqrt{1+0})^{3}}=-\frac{1}{2(\sqrt{1})^{3}}=-\frac{1}{2}.$$

- Terceiro passo: calcular f''(0).

Derivando a função

$$f'(x)=-\frac{1}{2} (1+x)^{-\frac{3}{2}},$$

vamos obter

$$f''(x)=-\frac{3}{2}.(-\frac{1}{2} )(1+x)^{-\frac{3}{2}-1}\cdot \frac{d(1+x)}{dx}$$

$$=\frac{3}{4} (1+x)^{-\frac{5}{2}}.1=\frac{3}{4(1+x)^{ \frac{5}{2}}}$$

$$ =\frac{3}{4(\sqrt{1+x})^{5}}.$$

Portanto,

$$f''(0)=\frac{3}{4(\sqrt{1+0})^{5}}=\frac{3}{4(\sqrt{1})^{5}}$$

$$=\frac{3}{4.1}}}=\frac{3}{4}.$$

- Quarto passo: Achar f'''(0).

Derivando a função

$$f''(x)=\frac{3}{4} (1+x)^{-\frac{5}{2}},$$

temos que

$$f'''(x)=(-\frac{5}{2}).\frac{3}{4} (1+x)^{-\frac{5}{2}-1}\cdot \frac{d(1+x)}{dx}=$$

$$-\frac{15}{8}(1+x)^{-\frac{7}{2}}.1=-\frac{15}{8(1+x)^{ \frac{7}{2}}}=-\frac{15}{8(\sqrt{1+x})^{7}}.$$

Portanto,

$$f'''(0)=-\frac{15}{8(\sqrt{1+0})^{7}}=-\frac{15}{8(\sqrt{1})^{7}}$$

$$=-\frac{15}{8.1}}}=-\frac{15}{8}.$$

- Quinto passo: substituir f(0), f'(0), f''(0), f'''(0) e a = 0 na fórmula de Taylor, no caso:

$$f(x)=f(a)+\frac{f'(a)(x-a)^{1}}{1!}+\frac{f''(a)(x-a)^{2}}{2!}$$
$$+\frac{f'''(a)(x-a)^{3}}{3!}$$,

e teremos

$$f(x)=f(0)+\frac{f'(0)(x-0)^{1}}{1!}+\frac{f''(0)(x-0)^{2} }{2!}$$
$$+\frac{f'''(0)(x-0)^{3}}{3!}\rightarrow$$

$$f(x)=1-\frac{\frac{1}{2} (x-0)^{1}}{1!}+\frac{\frac{3}{4}(x-0)^{2}}{2!}-\frac{\frac{15}{8} (x-0)^{3}}{3!}\rightarrow$$

$$f(x)=(1+x)^{-\frac{1}{2}}=1-\frac{x}{2}+\frac{3x^{2} }{8}-\frac{15x^{3} }{48}$$

$$=1-\frac{x}{2} +\frac{3x^{2} }{8}-\frac{5x^{3} }{16}.$$

Na Física, geralmente, usa-se apenas

$$f(x)=(1+x)^{-\frac{1}{2}}\simeq 1-\frac{x}{2},$$

que dá uma boa aproximação.

9) Mostre que a equação

$$E(r)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0} }\left( 1-\frac{Z}{\sqrt{Z^{2}+R^{2}}}\right),$$

para o campo de um disco carregado, em pontos sobre o seu eixo, reduz-se ao campo de uma carga pontual para Z>>R.

A equação acima, torna-se

$$E(r)=\frac{\sigma }{2\varepsilon_{0}}\left [ 1-\frac{Z}{Z{(1+\frac{R^{2}}{Z{^2}})}^{\frac{1}{2}}} \right]=\frac{\sigma }{2\varepsilon_{0}}\left [ 1-{(1+\frac{R^{2}}{Z{^2}})}^{-\frac{1}{2}} \right ]$$

Para fazer a expansão do termo

$$(1+\frac{R^{2}}{Z{^2}})}^{-\frac{1}{2}},$$

Usaremos a mesma feita na questão anterior, ou seja,

$$f(x)=(1+x)^{-\frac{1}{2}}\simeq 1-\frac{x}{2}.$$

Substituindo o valor de

$$x=\frac{R^{2} }{Z^{2}}$$

nesta expansão, temos que

$$f(x)=(1+x)^{-\frac{1}{2}}\simeq 1-\frac{1}{2}.x=1-\frac{1}{2}.\frac{R^{2} }{Z^{2}}$$

Portanto,

$$E(r)=\frac{\sigma }{2\varepsilon_{0}}\left [ 1-(1-\frac{1}{2}.\frac{R^{2} }{Z^{2} })+\cdots \right]=\frac{\sigma }{2\varepsilon_{0}}.\frac{1}{2}\frac{R^{2}}{Z^{2}}$$
$$=\frac{\sigma }{4\varepsilon_{0}}.\frac{R^{2} }{Z^{2}}.$$

Substituindo

$$\sigma =\frac{Q}{A}$$
e

$$A=\pi R^{2}$$

na equacão acima, teremos

$$E(r)=\frac{1}{4\varepsilon_{0}}.\frac{Q}{\pi R^{2}}.\frac{R^{2} }{Z^{2}}=\frac{1}{4\varepsilon_{0}\pi }.\frac{Q}{Z^{2}}=\frac{KQ}{Z^{2}}$$

ou vetorialmente,

$$\vec{E}(r)=\frac{KQ}{Z^{2}}\vec{z},$$

que é o campo elétrico de uma carga pontual e, a uma distância Z da mesma.

10) Desafio para você: pelo método acima exposto, faça a expansão do teorema binomial

$$(1+x)^{n},$$

faça a expansão logarítmica

$$ln(1+x)$$
e a expansão trigonométrica

$$tgx.$$

Bons estudos e boa sorte!
ACESSAR O ESTUDO COMPLETO ►

22 de agosto de 2010

JAMES WATSON FALA COMO DESCOBRIU O DNA

James Dewey Watson, nascido em 6 de abril de 1928, dividiu o Prêmio Nobel de medicina de 1962 com Francis Crick e Maurice Wilkins. De 1968 a 1993, Watson dirigiu o laboratório Cold Spring Harbor (Nova York), que preside desde 2003. Foi o primeiro diretor do programa de sequenciamento do genoma humano. É um dos autores do “modelo de dupla hélice” para a estrutura de DNA.
Neste vídeo vamos perceber que a pretensão de James Dewey Watson, era ser um naturalista longe da agitação urbana da cidade onde crescera. Quando cursava o 3º ano na Universidade de Chicago houve uma mudança de suas intenções inspirada pelo livro O que é vida, do Físico austríaco, pai da mecânica ondulatória, Erwin Schrödinger. O livro O que é vida, publicado em 1944, era o resultado de diversas palestras proferidas por Schrödinger no Instituto de Estudos Avançados de Dublin. 
ACESSAR O ESTUDO COMPLETO ►

21 de agosto de 2010

CURSOS ONLINE GRATUITOS


Cursos gratuitos
Os cursos oferecidos pelo Sebrae estão divididos por perfis, são gratuitos e estão listados da seguinte maneira: Aprender a Empreender, Análise e Planejamento Financeiro, Como Vender Mais e Melhor, D-Olho na Qualidade, Gestão de Cooperativas de Crédito, Atendimento ao Cliente, Boas práticas nos serviços de alimentação: gestão da segurança, Empreendedor Individual e Iniciando um Pequeno e Grande Negócio. Ao final do curso o aluno tem o certificado de participação.

Se você tem interesse nestes cursos, cadastre-se e matricule-se no endereço:


Aproveite e Boa sorte!

CURSOS GRATUITOS OFERECIDOS PELA FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS ONLINE:

A Fundação Getulio Vargas Online oferece cursos gratuitos pela internet. Para acessar os cursos gratuitos, não é necessário efetuar o login no site do FGV Online. Basta acessar a página Cursos Gratuitos, onde estão listados todos os conteúdos oferecidos. Todos os cursos possuem declaração de conclusão. Se você tem interesse nestes cursos, acesse:


Aproveite e boa sorte!

ATENÇÃO ALUNOS-PÚBLICO, VEJA ESTA OPORTUNIDADE: vagas para cursos gratuitos em categorias profissionais de níveis básico. Provas: Língua Portuguesa, Matemática e Raciocínio Lógico. Serão oferecidas 27.915 vagas, em 13 estados. Como principal financiadora do Prominp, a Petrobras poderá realizar pagamento de bolsa-auxílio diretamente ao aluno público. Não perca esta oportunidade. Inscrições abertas:17 de agosto de 2010 a 12 de setembro de 2010. Informe-se, dê uma espiadinha nos sites:

http://www.prominp.com.br/data/pages/8A9548882A73B911012A772768AE0D7A.htm

http://www.cesgranrio.org.br/eventos/concursos/prominp0110/prominp0110.html

Aproveite e boa sorte!

ACESSAR O ESTUDO COMPLETO ►
© Estudando Física - 2018. Todos os direitos reservados.
Criado por: Elysium.
Tecnologia do Blogger.
imagem-logo