-->

sábado, 24 de julho de 2010

EXPANSÃO EM SÉRIE DE TAYLOR (PARTE I) - EXERCÍCIOS RESPONDIDOS

Objetivos da primeira parte deste estudo:
  •  Pesquisar sobre a vida de  Brook Taylor enfatizando seu interesse pela Física;
  •  Expandir funções em série de Taylor com aproximação até terceira ordem;
  •  Aplicar conhecimentos adquiridos nas aulas sobre derivadas;
  •  Expandir funções trigonométricas e exponenciais em série de Taylor com aproximação até terceira ordem;
  •  Usar a expansão em série de Taylor para calcular o cosseno de um número muito menor que 1, comparar com o resultado da calculadora e calcular o erro percentual;
  •  Usar a expansão em série de Taylor em um problema no eletromagnetismo.
Brook Taylor foi um matemático Inglês que acrescentou um novo ramo da matemática chamado “cálculo de diferenças finitas”, inventou a integração por partes e descobriu a célebre fórmula conhecida como a expansão de Taylor. Foto – crédito ao site: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/PictDisplay/Taylor.html


Brook Taylor nasceu em 18 agosto de 1685 em Edmonton, Middlesex, Inglaterra e faleceu em 29 de dezembro de 1731 em Somerset House, Londres, Inglaterra.

Em 03 de abril de 1712, Taylor foi eleito para a Royal Society. Foi uma eleição baseada mais nas experiência que Machin (matemático e astrônomo), Keill (matemático) e outros sabiam a respeito de Taylor. Por exemplo, Taylor escreveu em 1712 para Machin sobre uma solução para um problema de Kepler sobre a segunda lei do movimento planetário. Também em 1712, Taylor foi nomeado para o comitê criado para se pronunciar sobre o pedido de Newton ou Leibniz ter inventado o cálculo. De 14 de janeiro de 1714 até 21 de outubro de 1718 Taylor foi secretário da Royal Society. Na segunda parte desta aula descreveremos mais sobre a vida de Taylor. Mais detalhes sobre a vida e obra de Taylor no site:
http://www-history.mcs.standrews.ac.uk/Biographies/Taylor.html

Em muitos problemas de Física desejamos uma solução exata de uma função, mas, às vezes, nos deparamos com funções com soluções aproximadas. Com tais aproximações podemos extrair o significado físico de alguns problemas. A série de Brook Taylor nos dá uma solução aproximada de uma função, além de nos permitir estimar o erro associado.
    A série de Taylor de uma função f(x) em torno de um ponto $$x_{0}$$ é a soma dos elementos da série de potências definida por

    $$T(x)= \sum_{\ 0}^{\infty} \frac{f^{n} (x )}{n!}(x-x_{0} )^{n},$$

    onde, n! é o fatorial de n e

    $$\frac{f^{n} (x )}{n!}$$

    denota a n-ésima derivada de f(x) no ponto $$x_{0}.$$
    Na Física, é muito usada a notação

    $$T(x)= \sum_{\ 0}^{\infty} \frac{f^{n} (x )}{n!}(x-x_{0} )^{n}=$$
    $$\sum_{0}^{\infty}\frac{1}{n!}\frac{d^{m}f(x)}{dx^{n} }\mid_{x_{0}}(x-x_{0})^{n}$$

    onde,

    $$\frac{d^{m}f(x)}{dx^{n} }\mid_{x_{0}}$$

    denota, também, a derivada n-ésima de f(x) aplicada no ponto $$x_{0}.$$

    Portanto, a expressão acima fica assim:

    $$\sum_{0}^{\infty}\frac{1}{n!}\frac{d^{m}f(x)}{dx^{n} }\mid_{x_{0}}(x-x_{0})^{n}=$$
    $$f(x_{0})+(x-x_{0})\frac{df(x)}{dx} }\mid_{x_{0}}$$
    $$+\frac{1}{2} (x-x_{0})^{2} \frac{d^{2} f(x)}{dx^{2} } }\mid_{x_{0}}+\cdots.$$

    Se a série convergir, ela será igual a própria função, ou seja,

    $$f(x)=\sum_{0}^{\infty}\frac{1}{n!}\frac{d^{m}f(x)}{dx^{n} }\mid_{x_{0}}(x-x_{0})^{n}=$$
    $$f(x_{0})+(x-x_{0})\frac{df(x)}{dx} }\mid_{x_{0}}$$
    $$+\frac{1}{2} (x-x_{0})^{2} \frac{d^{2} f(x)}{dx^{2} } }\mid_{x_{0}}+\cdots,$$

    chamada de expansão da função f(x) em série de Taylor em volta do ponto $$x_{0}.$$ Para facilitar nossa vida, esta série (série de Taylor de uma função f(x)) pode ser escrita como a série de potências na seguinte notação:

    $$f (x)=f(a)+\frac{f'(a)(x-a)^{1}}{1!}+\frac{f''(a)(x-a)^{2}}{2!}+$$
    $$\frac{f'''(a)(x-a)^{3}}{3!}+\cdots.$$

    Na Física trabalha-se com expansão em série de Taylor, com uma boa aproximação até segunda ordem e, nos exercícios seguintes vamos usar, pelo método passo-a-passo, esta notação. Vamos praticar:

    1) Dada a função
    $$f(x)=e^{x}$$,
    expanda-a em série de Taylor, com aproximação até terceira ordem, em torno de a = 0 ou $$x_{0}=0$$.

    - Primeiro passo: calcular f(a) = f(0).

    Substituindo 0 na função

    $$f(x)=e^{x}$$, 

    temos que

    $$f(0)=e^{0}=1.$$

    - Segundo passo: calcular f'(0).

    Derivando a função
    $$f(x)=e^{x}$$,
    obteremos

    $$f'(x)=e^{x}\ \frac{d(x)}{dx} =e^{x}.$$

    Portanto,

    $$f'(0)=e^{0}=1.$$
    - Terceiro passo: calcular f''(0).

    Derivando a função

    $$f'(x)=e^{x},$$

    vamos obter

    $$f''(x)=e^{x}\ \frac{d(x)}{dx} =e^{x}.$$

    Portanto,

    $$f''(0)=e^{0}=1.$$

    - Quarto passo: Achar f'''(0).

    Derivando a função

    $$f''(x)=e^{x},$$
    temos que

    $$f'''(x)=e^{x}\ \frac{d(x)}{dx} =e^{x}.$$
    Portanto,


    $$f'''(0)=e^{0}=1.$$

    - Quinto passo: substituir f(0), f'(0), f''(0), f'''(0) e a = 0 na fórmula de Taylor, no caso:

    $$f (x)=f(a)+\frac{f'(a)(x-a)^{1} }{1!} +\frac{f''(a)(x-a)^{2} }{2!} +\frac{f'''(a)(x-a)^{3} }{3!},$$

    e teremos

    $$f(x)=f(0)+\frac{f'(0)(x-0)^{1} }{1!} +\frac{f''(0)(x-0)^{2} }{2!} +\frac{f'''(0)(x-0)^{3} }{3!}\rightarrow$$

    $$f (x)=1+\frac{1(x-0)^{1} }{1!} +\frac{1(x-0)^{2} }{2!} +\frac{1(x-0)^{3} }{3!}\rightarrow$$

    $$f(x)=e^{x}=1+\frac{x^{1} }{1!} +\frac{x^{2} }{2!} +\frac{x^{3} }{3!}=1+x +\frac{x^{2} }{2!} +\frac{x^{3} }{3!}.$$

    2) Dada a função
    $$f(x)=(2+x)^{-2},$$
    expanda-a em série de Taylor, com aproximação até terceira ordem, em torno de a = 0 ou $$x_{0}=0$$.

    - Primeiro passo: calcular f(0).

    Substituindo 0 na função

    $$f(x)=(2+x)^{-2},$$

    temos que

    $$f(0)=(2+0)^{-2}=2^{-2}=\frac{1}{2^{2}} =\frac{1}{4}.$$

    - Segundo passo: calcular f'(0).

    Derivando a função
     $$f(x)=(2+x)^{-2},$$

    obteremos

    $$f'(x)=-2(2+x)^{-3} \cdot \frac{d(2+x)}{dx} =-2(2+x)^{-3}.1=-2(2+x)^{-3}.$$

    Portanto,

    $$f'(0)=-2(2+0)^{-3}.1=-2.2^{-3}=-2.\frac{1}{8} =-\frac{1}{4}.$$

    - Terceiro passo: calcular f''(0).

    Derivando a função

    $$f'(x)=-2(2+x)^{-3}.$$

    vamos obter

    $$f''(x)=6(2+x)^{-4} \cdot \frac{d(2+x)}{dx} =6(2+x)^{-4}.1=6(2+x)^{-4}.$$

    Portanto,

    $$f''(0)=6(2+0)^{-4}=6.2^{-4}=6.\frac{1}{2^{4}} =6.\frac{1}{16} =\frac{6}{16} =\frac{3}{8}.$$

    - Quarto passo: Achar f'''(0).

    Derivando a função

    $$f''(x)=6(2+x)^{-4},$$

    vamos obter

    $$f'''(x)=-24(2+x)^{-5} \cdot \frac{d(2+x)}{dx} =-24(2+x)^{-5} .1=-24(2+x)^{-5}.$$

    Portanto,

    $$f'''(0)=-24(2+0)^{-5}=-24.2^{-5}=-24.\frac{1}{2^{5}}=\frac{-24}{32}=\frac{-12}{16}=\frac{-3}{4}.$$

    - Quinto passo: substituir f(0), f'(0), f''(0), f'''(0) e a = 0 na fórmula de Taylor, no caso:

    $$f(x)=f(0)+\frac{f'(0)(x-a)^{1} }{1!} +\frac{f''(0)(x-a)^{2} }{2!} +\frac{f'''(0)(x-a)^{3} }{3!}\rightarrow$$

    $$f(x)=\frac{1}{4} -\frac{\frac{1}{4} (x-0)^{1} }{1!} +\frac{\frac{3}{8} (x-0)^{2} }{2!} -\frac{\frac{3}{4} (x-0)^{3} }{3!}\rightarrow$$

    $$f(x)=(2+x)^{-2}=\frac{1}{4}-\frac{x} {4} +\frac{3x^{2} }{8.2.1}-\frac{3x^{3} }{4.3.2.1}=$$
    $$\frac{1}{4}-\frac{x} {4} +\frac{3x^{2} }{16}-\frac{x^{3} }{8}.$$

    3) Dada a função
    $$f(x)=\sqrt[3]{x},$$
    expanda-a em série de Taylor, com aproximação até segunda ordem, em torno de a = 8 ou $$x_{0}=8$$.

    - Primeiro passo: calcular f(8).

    Substituindo 8 na função

    $$f(x)=\sqrt[3]{x},$$
    temos que

    $$f(8)=\sqrt[3]{8 }=\sqrt[3]{2^{3} }=2.$$

    - Segundo passo: calcular f'(8).

    Derivando a função

    $$f(x)=\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}.$$

    obteremos

    $$f'(x)=\frac{1}{3}x^{\frac{1}{3} -1}=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}.$$

    Portanto,

    $$f'(8)=\frac{1}{3}.(8)^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3.8^{\frac{2}{3}}} =\frac{1}{3.\sqrt[3]{8^2} } =\frac{1}{3.\sqrt[3]{64} } =\frac{1}{3.4} =\frac{1}{12}.$$

    - Terceiro passo: calcular f''(8).

    Derivando a função

    $$f'(x)=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}.$$

    vamos obter

    $$f''(x)=-\frac{2}{3}.\frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3} -1}=-\frac{2}{9} x^{-\frac{5}{3}}.$$

    Portanto,

    $$f''(8)=-\frac{2}{9} .8^{-\frac{5}{3}}=-\frac{2}{9.8.^{\frac{5}{3}}}=-\frac{2}{9.\sqrt[3]{8^{5}}}=-\frac{1}{144}}}.$$
     - Quarto passo: substituir f(8), f'(8), f''(8) e a=8 na fórmula de Taylor, no caso:

    $$f(x)=f(8)+\frac{f'(8)(x-a)^{1} }{1!} +\frac{f''(8)(x-a)^{2} }{2!}.$$

    $$f(x)=2 -\frac{\frac{1}{12} (x-8)^{1} }{1!} -\frac{\frac{1}{144} (x-8)^{2} }{2!} \rightarrow$$

    $$f(x)=\sqrt[3]{x}=2+\frac{1(x-8) }{12}-\frac{1(x-8)^2}{2.144}=$$
    $$2+\frac{1(x-8) }{12}-\frac{1(x-8)^2}{288}.$$

    A continuação está neste endereço: Taylor II.

    8 comentários:

    Anônimo disse...

    Muito bom!
    Obrigado.

    Anônimo disse...

    Muito bacana a explicação! bem feita e simples. Os exemplos são os mais básicos e comuns. Pelo que vi no site este é o objetivo.
    Apenas recomendo melhorar a estética. Particularmente não sou muito bom nesta parte mas é importante. Como exemplo usaria um outro site que encontrei, ele está em inglês e é mais completo porém mais inteligivél também.
    http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/TaylorSeries.aspx
    parabéns pelo trabalho, é ótimo!

    Anônimo disse...

    muito bom o conteúdo! simples e objetivo

    Anônimo disse...

    Legal o blog. Obrigado pelas dicas

    vilasboas disse...

    Parabéns

    O seu trabalho complementa em muito os acadêmicos os quais estudam em horário noturno, e atribulados com os afazeres enxergamos este conteúdo como uma bonificação valorosa.

    Tudo de bom

    clovistec disse...

    Prezado amigo, isso é muito bom, valeu

    bittaman disse...

    Obrigado pelas explicacoes. Com certeza os exercicios resolvidos ajudam e muito a compreender este tipo de conteudo. E se tivessemos de escrever a serie em na forma com o simbolo de somatorio, seria possivel para todos os exemplos?

    Renata Correa disse...

    Muito bom!

    Gostou do estudo? Comente abaixo.

    No lado direito do blog, em Categorias: Matemática Fundamental e Matemática para Física, temos muitos exercícios resolvidos de matemática básica, fornecendo a você uma base para encarar as disciplinas Física e Matemática do nível médio e superior. Por favor, não enviem exercícios para eu resolver, pois estou muito acarretado de tarefas e com pouquíssimo tempo até para postar. Agradeço os leitores que me comunicaram sobre erros de digitação em algumas postagens. Se você quiser contato, deixe seu e-mail ou escreva-me. Agradeço aos leitores que respondem às perguntas feitas, nos comentários, por alunos com dúvidas.

    Importante: se você comentar, identifique-se (nome e cidade). Não escreva como anônimo, não escreva nos comentários frases como: "Me ajudou muito", "Gostei", "Legal", "Continue assim". Escreva, por exemplo, como o texto lhe ajudou, se você aprendeu, se valeu apena ler o texto, suas dificuldades no assunto, etc. Em "Comentar como" use, se possível, sua conta(e-mail) do google ou sua URL.

    Espero ajudado você de alguma forma! Obrigado pela paciência! Bons estudos!

    Atenciosamente,
    Elísio.