OS PARÊNTESES DE POISSON

O objetivo desta aula é:

• Tentar visualizar, a partir da mecânica clássica, um caminho para a Mecânica Quântica.

Siméon Denis Poisson (1781-1840).
Créditos: Mathematics Genealogy Project.

Vamos evoluir temporalmente uma certa quantidade genérica, definida no espaço das fases, chamada de

$$A(q_{i},p_{i},t)$$

onde,

$$q_{i}$$ -> representa as coordenadas de posição;

$$p_{i}$$ -> representa as coordenadas dos momenta;

t -> representa as coordenadas do tempo.

Derivando a quantidade A(q,p,t) em relação ao tempo, temos:

$$\mathit{\frac{\mathrm{dA}}{\mathrm{d} t}}=\sum_{i}\left(\frac{\partial A}{\partial q_{i}}\dot{q_{i}}
+\frac{\partial A}{\partial p_{i}}\dot{p_{i}}\right)+\frac{\partial A}{\partial t}\right).$$

Na Física clássica, para evolução temporal desta expressão usaremos as equações de Hamilton:

$$\dot{q_{i}}=\frac{\partial {H}}{\partial p_{i}}$$

e

$$\dot{p_{i}}=\frac{\partial {H}}{\partial q_{i}}.$$

Substituindo as equações de Hamilton na primeira equação (na parte entre parênteses), obteremos o parêntese de Poisson entre A e H, que por definição é dado por:

$$\left \{A,H \right \}=\sum_{i}\left({\frac{\partial A}{\partial q_{i}}\frac{\partial {H}}{\partial p_{i}}-\frac{\partial A}{\partial p_{i}}\frac{\partial H}{\partial q_{i}}}\right).$$

As funções A e H dependem das coordenadas de posição, das coordenadas dos momenta e das coordenadas do tempo.

Obs: generalizando, o parêntese de Poisson entre duas quantidades quaisquer, por exemplo, F e G é dado por:

$$\left \{ F,G \right \}=\sum_{i}\left({\frac{\partial F}{\partial q_{i}}\frac{\partial {G}}{\partial p_{i}}-\frac{\partial F}{\partial p_{i}}\frac{\partial G}{\partial q_{i}}} \right ).$$

Portanto, a nossa primeira expressão torna-se:
 

$$\mathit{\frac{\mathrm{dA} }{\mathrm{d} t}}=\left\{ A,H \right\} +\frac{\partial A}{\partial t}.$$

Algo muito interessante que merece nossa reflexão: a equação acima é semelhante à representação de Heisenberg dado por

$$\mathit{\frac{\mathrm{dA} }{\mathrm{d} t}}=\frac{1}{i\hbar}\left[ A,H \right] +\frac{\partial A}{\partial t}.$$

Nas próximas postagens, na categoria Quântica, vamos refletir mais sobre esta passagem.