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25 de abril de 2010

NÚMEROS COMPLEXOS POTÊNCIAS DE I - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Objetivos da aula sobre números complexos (potências de i):

* Estudar as potências de i;

* Operar potências de i;

* Determinar uma potência de i superior a 4;

* Calcular divisões com potências de i.

O matemático e engenheiro hidráulico italiano, Raffaeli Bombeli (1526-1573), escreveu seu tratado de Álgebra por volta de 1550, publicou sua primeira edição em 1572 e a segunda em 1579.
Raffaeli Bombeli (1526-1573), matemático e engenheiro hidráulico italiano.
Figura - Créditos ao site: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk

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12 de abril de 2010

OS PARÊNTESES DE POISSON

O objetivo desta aula é:
  • Tentar visualizar, a partir da mecânica clássica, um caminho para a Mecânica Quântica.

Siméon Denis Poisson (1781-1840).
Créditos: Mathematics Genealogy Project.

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10 de abril de 2010

FAÇA SUA INSCRIÇÃO PARA O PROGRAMA JOVEM CIDADÃO MEU PRIMEIRO EMPREGO(GRANDE SÃO PAULO)

Programa jovem cidadão
Atençao alunos que cursam a 2ª e 3ª séries do nível médio da Grande São Paulo: o Programa Jovem Cidadão Meu Primeiro Trabalho tem como objetivo “quebrar” a principal causa do desemprego juvenil que é a falta de experiência profissional (a escolaridade também é um fator preponderante e quando aliada à falta de experiência, potencializa a dificuldade de inserção no mercado de trabalho). O Programa focaliza o Social, o Profissional e a Cidadania.

O social: Atendendo famílias em situação de vulnerabilidade social – alto número de moradores em suas residências, baixa renda familiar e baixo grau de instrução dos chefes de família;

O Profissional: Oferecendo a oportunidade de vivência no mundo do trabalho, enfatizando o aprendizado e a formação do jovem, de forma a possibilitar a inicialização de uma carreira profissional;

A Cidadania: Participando do Programa, os jovens adquirem mais responsabilidade em suas ações, conhecimento de seus direitos e deveres, e segurança nas decisões tomadas no dia-a-dia.

Se você é aluno do Ensino Médio Estadual, no ano atual (2010), da Região Metropolitana de São Paulo, com idade variando de 16 a 21 anos completos, regularmente matriculado na 2ª série (durante o segundo semestre) ou na 3ª série (durante o primeiro semestre), solicite sua inscrição para o Programa Jovem Cidadão Meu Primeiro Emprego, programa do Governo do Estado que visa estimular a introdução dos jovens no mercado de trabalho, por meio de bolsas-estágios. Se inscreva, basta clicar neste link:


Para conhecer mais sobre o programa Programa Jovem Cidadão Meu Primeiro Emprego, digite na barra de endereços do seu navegador o seguinteendereço:

http://www.meuprimeirotrabalho.sp.gov.br/conhecaoprograma.htm

Ajuda e dúvidas sobre o programa, digite na barra de endereços do seu navegador o seguinte endereço:

http://ptrabalho.edunet.sp.gov.br/questionario/MPT_FAQ.htm

Fé em Deus e boa sorte!

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PORCENTAGEM - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Se você está em busca de conhecimentos sobre matemática, física básica e  tecnologias, seja bem vindo  ao nosso blog e usufrua de conhecimentos que você  poderá utilizar durante toda a sua vida estudantil e profissional, desde o nível fundamental ao nível superior. Nossas postagens têm alcançado e ajudado milhares de pessoas. Boa sorte!

 Os objetivos desta aula são: analisar que porcentagem é uma fração de denominador 100 e que nos dá a porção do todo que está sendo considerado, estabelecer conexões entre porcentagem e razão, estabelecer conexões entre porcentagem e regra de três e estabelecer conexões entre porcentagem e proporção. Bons estudos.

Toda razão cujo consequente é 100 é denominada porcentual ou razão centesimal. Vamos praticar: nos exemplos a seguir, vamos representar números com símbolo % em razão percentual.

25% pode ser representado como 25/100 = 1/4 = 0,25;
30% pode ser representado como 30/100 = 3/10 = 0,3;
40% pode ser representado como 40/100 = 4/10 = 2/5 = 0,4;
50% pode ser representado como 50/100 = 5/10 = 1/2 = 0,5;

25% de 500 pode ser representado como

$$\frac{25}{100} \times 500.$$

75% de 900 pode ser representado como

$$\frac{75}{100} \times 900.$$

50% de 1000 pode ser representado como

$$\frac{50}{100} \times 1000.$$

0,5% de 8 pode ser representado como

$$\frac{0,5}{100} \times 8.$$

Aplicando este conhecimento, calcule

a) 25% de 500;

$$\frac{25}{100} \times 500=\frac{12500}{100}=125.$$

b) 75% de 900;

$$\frac{75}{100} \times 900 =\frac{67500}{100}=675.$$

c) 50% de 1000;

$$\frac{50}{100} \times 1000 =\frac{50}{1}\times 10=500.$$

d) 0,5% de 8;

$$\frac{0,5}{100} \times 8 =\frac{4}{100}=0.04.$$

Resolva e divirta-se com os seguintes exercícios

1º) Calcular 12% de R$ 600,00.

$$\frac{12}{100} \times 600 =\frac{12}{1}\times 6=72.$$

Portanto, R$ 72,00.

2º) Um estudante não pode faltar a mais de 1/4 das aulas dadas durante o ano. Como exprimir em porcentagem?

Regra:
- qual é o número que multiplicando o 4 (denominador) resulta em 100? É o 25. Multiplica-se o numerador e o denominador por 25. Assim:

$$\frac{1}{4}.\frac{25}{25} =\frac{25}{100} =25.$$

Portanto, o aluno não pode faltar a mais de 25% das aulas dadas durante o ano.

3º) Um funcionário ganha 2/5 do lucro anual de uma empresa. Exprima em porcentagem?

Regra:

- qual é o número que multiplicando o 5 (denominador) resulta em 100? É o 20. Multiplica-se o numerador e o denominador por 20. Assim:

$$\frac{2}{5}.\frac{20}{20} =\frac{40}{100} =40.$$

Portanto, o funcionário ganha 40% do lucro anual da empresa.

4º) O preço de uma geladeira é R$ 950,00. Para pagamento a vista, há um desconto de 20%. Calcular:

a) A quantia referente ao desconto;

$$\frac{20}{100} \times 950 =\frac{2}{1}\times 95=190.$$

Portanto, R$ 190,00.

b) O preço da geladeira a vista?

Preço da geladeira - desconto = R$950,00 - R$190,00 = R$760,00.

5º) O salário de um professor é R$1100,00. Depois de muita greve, o governo teve misericórdia desta alma penada e concedeu-lhe 8% de reajuste. Qual é o novo e excitante salário deste professor?

- Cálculo do reajuste:

$$\frac{8}{100} \times 1100 =\frac{8}{1}\times 11=88.$$

Portanto, R$ 88,00.

- Cálculo do novo salário:

Salário + reajuste = R$ 1100,00 + R$ 88,00 = R$ 1188,00.

6º) Agora, com este grande salário de R$1188,00, o até então alegre professor, recebe uma notícia triste: seu novo e grande salário precisará sofrer uma redução de 5% para ajudar a pagar as dívidas do seu estado. Qual será o novo salário do professor?

- Cálculo da redução do salário:

$$\frac{5}{100} \times 1188 =\frac{1}{20}\times 1188=\frac{1188}{20} =59,40.$$

Portanto, R$ 59,40.

- Cálculo do novo salário: R$ 1188,00 - R$ 59,40 = R$ 1128,60.

7º) Ao comprar um livro de Física por R$ 90,00, o vendedor lhe deu um desconto de 4%. Quantos reais você teve de abatimento?

$$\frac{4}{100} \times 90 =\frac{4}{10}\times 9=3,6.$$

Portanto, R$ 3,60.

8º) Um vendedor lhe vende um Tênis de R$ 120,00 por R$ 102,00. Quantos por cento lhe concedeu de desconto?

Vamos calcular X/100 (X%) pela seguinte expressão (para abatimento do preço):

Novo preço = preço - X/100 do preço.

$$102=120-\frac{X}{100} \times 120\rightarrow$$

$$-18=-\frac{X}{100} \times 120 \rightarrow -18=\frac{-12X}{10} \rightarrow$$

$$-12X=-180\rightarrow X=15.$$

Portanto, o desconto foi X% = 15%.

Obs: Você tem dificuldades em aprender sobre números relativos? Estude o artigo intitulado Números inteiros relativos.

Podemos, também, calcular assim:

Preço do Tênis - menos preço do tênis com desconto = R$ 120,00 - R$ 102,00 = R$ 18,00.

Regra de três:

R$ 120,00 ---> 100%
R$ 18,00 ---> X

$$X = \frac{18.100}{120} =\frac{1800}{120}=\frac{180}{12}=15.$$

Portanto, o desconto foi X% = 15%.

9º) Você compra um carro por R$ 20000 e vende-o com lucro de R$ 4000,00. Qual é a porcentagem de lucro, ou seja, quantos por cento eu lucrei em cima de 20000?

Vamos calcular X/100 (X%) pela expressão (para lucro):

Novo preço = preçoantigo + X/100 do preço antigo.

$$24000=20000+\frac{X}{100} \times 20000 \rightarrow$$

$$24000-20000=\frac{X}{1} \times 200 \rightarrow$$

$$4000=200X \rightarrow 40X=2\rightarrow X=20.$$

Portanto, a porcentagem de lucro é X% = 20%.
De fato 20% de R$20000 = R$4000.

10º) Um Pen-Drive custa R$ 42,00. O vendedor faz a você um abatimento de 15% sobre o preço do Pen-Drive. Quanto você vai pagar?

Aqui foi dado o X/100 = 15%.

Vamos calcular o Novo preço pela expressão (para abatimento do preço):

Novo preço = preço - X/100 do preço. Vamos chamar novo preço de X.

$$X=42-\frac{15}{100} \times 42\rightarrow$$

$$X=42-\frac{630}{100} =42-6,3=35,7.$$

Portanto, vou pagar R$ 35,70.

Para sua reflexão: Para obter a resposta, o vendedor poderia multiplicar R$ 42,00 por 0,85? Sim, resultaria em R$ 35,70.

Obs: é muito importante aprender a usar a calculadora como ferramenta de auxílio no trabalho, nas lojas, nos supermercados, enfim, na vida cotidiana e no âmbito profissional. Você pode verificar como é útil a calculadora neste estudo: Como tirar porcentagem na calculadora. Porém, na sala de aula é muito importante que o aluno faça e refaça as contas no caderno sem o uso da calculadora.

Atenção estudantes 

Estou ajudando alguns alunos, em sala de aula, com a aplicação de um minicurso (eBook) presencial bem básico, com duração de 20 dias, ensinando vários macetes sobre matemática básica em torno do assunto abordado acima. Aqui na comunidade, cada aluno do fundamental e médio, que pode, contribui. Os que não podem contribuir precisam da xerox do material e, eu uso o pouco arrecado para xerocar e encadernar o eBook para tais alunos. Na contra capa coloco, como oferecimento, os nomes dos que contribuíram. 

Estou disponiblizando, também, esse minicurso para todos os internautas interessados em obtê-lo.  

Muitos alunos, após a conclusão do nível médio, precisam trabalhar, porém é muito difícil arrumar um emprego. Quando tentam arrumar um simples emprego em lojas, armazéns, shopping centers, balconistas, promotores de produtos, recepcionistas, vendas em geral, etc, é solicitado uma prova escrita ou oral bem simples, às vezes de surpresa, perguntando ao condidato sobre, por exemplo, abatimento em cima de um produto, comissão, porcentagem sobre uma venda, etc. Porém, o candidato não lembra de nada disso e perde a chance de um começo de emprego e vem logo a tristeza. 

Este simples eBook ajudará você, tanto estudante como vendedores, a ter uma base mais sólida sobre o assunto. Estou disponiblizando apenas a 1ª etapa como amostra, o que já é o suficiente para aprender muitos truques. 

Se você gostar, escreva para mim, professor Elísio (elisiofisico1@gmail.com), e solicite as outras duas etapas. Lembrem-se: apesar de pouco tempo, eu respondo e-mails com dedicação, gosto de ajudar alunos e profissionais interessados em diversos assuntos estudantis e, se eu tiver outros materiais de estudo posso ajudar enviando para vocês -  é só escrever para o e-mail acima para eu poder contactá-los. Então, mãos à obra: faça o download do minicurso abaixo e aprenda muito mais. Espero que gostem!
 
Estudando Física

Muito grato. Obrigado pela sua paciência. Espero ter ajudado. Volte sempre. Se ajudei, comente (mas, identifique-se). Bons estudos!


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1 de abril de 2010

TRABALHO MECÂNICO - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Trabalho mecânico
Neste tópico abordaremos sobre um assunto muito importante em todas as ciências exatas, o trabalho mecânico. O trabalho mecânico age na natureza, na matéria bruta e na matéria viva. As interações da natureza manifestam o trabalho. As coisas que possuem movimento possuem energia e o trabalho é uma transferência de energia. Energia é capacidade que um corpo tem de produzir trabalho. O conceito de trabalho mecânico será muito útil na Física e em outras ciências. Portanto, ao final das situações-problemas empregadas neste tópico, os meus alunos da EJA e do Ensino regular deverão ser capazes de:

➡ Perceber que o trabalho mecânico ou trabalho é a transferência de energia sempre realizado por forças;

➡ Exemplificar e perceber na natureza as forças que realizam trabalho (força peso, força elástica, força de atrito, força elétrica, força motriz, força magnética e força gravitacional);

➡ Saber que para que exista uma força, deve haver interação entre corpos e que, se uma força constante produz um deslocamento que forma um certo ângulo com a direção da força, tal força realiza um trabalho;

➡ Conceituar trabalho motor, nulo e resistente;

➡ Conscientizar-se que, a leitura de revistas em quadrinhos pode tranformá-lo em um bom leitor e, consequentemente, num bom escritor.

Para melhor entendimento destas resoluções é aconselhável ler e meditar no texto várias vezes. Quando você conseguir “mastigar” estas idéias, estará apto a resolver problemas mais avançados sobre trabalho.

01) Um sorveteiro empurra seu carrinho, aplicando-lhe um força horizontal de 25 N e deslocando-o por 100 m. Qual é o trabalho realizado pela força aplicada no carrinho pelo sorveteiro?

- Vamos considerar que o carrinho está sendo empurrado (força), constantemente, da esquerda para a direita e que é este o sentido positivo de deslocamento; 

- Para o nosso estudo temos dois corpos no sistema: sorveteiro e carrinho. Houve interação entre estes corpos, por isso aparece uma força. No caso, a força favorece o deslocamento, ou seja, a força atua no mesmo sentido do deslocamento (da esquerda para a direita), portanto, seu trabalho é chamado motor ou positivo, ou seja,

$$(\tau>0).$$

- A direção que o carrinho está sendo empurrado é horizontal. Portanto, o ângulo formado com a direção da força é 0 grau;

Já sabemos que
$$cos0^{o} = 1.$$

- A expressão para trabalho é:

$$\tau=F.d.cos0^{o}=25N.100m.1=2500.$$

Esta resposta está incompleta. A unidade de medida de energia é o joule (J). Pronuncia-se Jáule, nome oriundo do cientista James Prescott Joule (1818 – 1889).

Obs: 1 J = 1 N.1m. Portanto a resposta certa é

$$\tau =2500 J.$$

Fisicamente, podemos traduzir que o sorveteiro, aplicando a força de 25 N, no sentido de deslocamento, transferiu ao carrinho, no percurso de 100 m, 2500 J de energia. Você percebeu que o trabalho mecânico é a transferência de energia?

02) Conforme mostra figura abaixo, se o Falcão aplicasse uma força constante de intensidade 1000 N em uma nave, deslocando-a em 4 m, qual seria o trabalho realizado pelo força?

Trabalho
- Vamos considerar que a nave da frota estelar inimiga está sendo empurrado (força), constantemente, da esquerda para a direita e que é este o sentido positivo de deslocamento;

- Para o nosso estudo temos dois corpos no sistema: Herói márvel Falcão e a nave. Houve interação entre estes dois corpos, por isso aparece uma força agindo na nave, empurrando-a. No caso, a força favorece o deslocamento, ou seja, a força atua no mesmo sentido do deslocamento (da esquerda para a direita), portanto, seu trabalho é chamado motor ou positivo, ou seja,

$$(\tau>0).$$

Obs: se alguém souber a identidade secreta do falcão, ou mais dados sobre ele, clique em comentários e escreva algo. Só lembro que ele tinha a companhia eterna de uma ave.

- A direção que a nave está sendo empurrada é considerada como horizontal. Portanto, o ângulo formado com a direção da força é 0 grau.

Já sabemos que

$$cos 0^{o} = 1.$$

Portanto, a expressão para trabalho é:

$$\tau=F.d.cos0^{o} =1000N.4m.1=4000 J.$$

Fisicamente, podemos traduzir que o Falcão aplicando uma força constante (que não varia) de 1000 N, no sentido de deslocamento, transferiu à nave inimiga, em 4 m de percurso, 4000 J de energia. Você continua percebendo que o trabalho mecânico é a transferência de energia? A nave ganhou energia e se moveu.

03) Conforme mostra figura abaixo, se o Iron Man aplicasse uma força constante, proveniente de seus "raios propulsores", de intensidade 2000 N em um material, deslocando-o em 5 m, qual seria o trabalho realizado pelo força?

Força e trabalho
- Apesar do desenho não mostrar, vamos considerar que a direção que o material está sendo empurrado é a horizontal; 

- Vamos considerar que o material teleguiado, radioativo e perigoso está tentando avançar (da esquerda para direita) sobre o Homem de Ferro. Mas, o Iron Man aplica uma força constante no material, empurrado-o ao contrário, ou seja, da direita para a esquerda - este é o sentido negativo de deslocamento; 

- Para o nosso estudo temos dois corpos no sistema: Herói márvel Homem de Ferro e o material. Houve interação entre estes dois corpos, por isso aparece uma força agindo e empurrando um material. No caso, a força não favorece o deslocamento, ou seja, ela atua no sentido da direita para a esquerda e forma com a direção (horizontal) de deslocamento um ângulo de 180 graus. Já sabemos que

$$cos 180^{o} = -1.$$

Portanto, o trabalho da força é chamado resistente ou negativo, ou seja,

$$(\tau&lt0).$$

Obs: se alguém, também, souber a identidade secreta do Homem de Ferro ou mais dados sobre ele, clique em comentários e escreva algo. Só lembro que ele tinha uma armadura super veloz e muito resistente. 

- Portanto, a expressão para trabalho é:

$$\tau=F.d.cos 180^{o} = 2000N.5m.(-1)= -10000 J.$$

Interpretação física deste item: A força originada pelos “raios propulsores” do homem de Ferro realizou sobre o material um trabalho negativo, isto é, retirou do material 10000 J de energia no percurso de 5 m. Você continua percebendo que o trabalho mecânico é a transferência de energia? Neste caso, o material perdeu energia e, forçadamente, se moveu para a esquerda.

04) Uma pessoa caminha horizontalmente, carregando uma mala. A mala pesa 80 N. Qual o trabalho realizado pela força-peso, se o deslocamento horizontal foi de 30 m?

- Vamos considerar que a pessoa e a mala estão se movendo na direção horizontal e sentido da esquerda para a direita e, que é este o sentido positivo de deslocamento; 

- Para o nosso estudo o interesse é apenas entre os dois corpos: Terra-mala. Houve interação entre estes corpos, por isso aparece uma força, chamada força-peso. No caso, a força é perpendicular ao deslocamento, ou seja, a força-peso não atua no mesmo sentido do deslocamento, que é da esquerda para a direita, portanto, seu trabalho é nulo, ou seja,

$$(\tau=0).$$

- A direção que a mala está sendo puxada (força da gravidade sobre a mala) é a vertical e é perpendicular (forma 90 graus) ao deslocamento (horizontal). Quando a força é perpendicular ao deslocamento, ela realiza trabalho nulo. O ponto de aplicação da mala não sofre deslocamento. O ângulo formado entre a força-peso (que está na vertical)e o deslocamento (que está na horizontal)é 90 graus. Já sabemos que

$$cos 90^{o}=0$$

A expressão para trabalho é:

$$\tau=F.d.cos 90^{o}=80N.30m.0=2400 J.0 = 0.$$

Portanto, a resposta é
$$\tau = 0.$$

Fisicamente, podemos deduzir que a força-peso de 80 N sobre a mala, no sentido perpendicular ao seu deslocamento (que foi da esquerda para direita), não transferiu energia à mala, quando ela se deslocou 30 m (na horizontal). Você percebeu que só existe trabalho quando há transferência de energia? Você percebeu que se uma força não produz deslocamento num corpo, ela não realiza trabalho sobre esse corpo? No caso, não houve deslocamento na vertical.

05) Um corpo com massa de 2 kg é arrastado horizontalmente em uma superfície plana com atrito, por uma força horizontal de 10 N, percorrendo a distância de 4 m, numa superfície cujo coeficiente de atrito com o corpo é 0,2. Qual o trabalho realizado por cada uma das forças que atuam no corpo?

- Este problema envolve mais um pouco de raciocínio. Mas, confio que você vai pesquisar e estudar o assuntos relacionados ao problema;

- Vamos considerar que o corpo está se deslocando da esquerda para a direita e que este é o sentido positivo de deslocamento; 

- Houve interação entre o corpo e a superfície aderente, entre o corpo e a Terra, entre o corpo e a fonte que aplicou a força motriz de 10 N. Neste caso o problema pede o trabalho realizado por cada força no corpo. Que forças são essas? São 4 forças:

a) O trabalho realizado pela força motriz de 10 N.

- A direção que o corpo está sendo puxado é horizontal. Portanto, o ângulo formado com a direção da força é 0 grau. Já sabemos que

$$cos 0^{o} = 1$$

A expressão para trabalho é:

$$\tau=F.d.cos 0^{o} = 10N.4m.1 = 40 J.$$

Portanto, seu trabalho é chamado motor ou positivo, ou seja,

$$(\tau>0).$$

Fisicamente, podemos deduzir que esta força transmite 40 J de energia ao corpo no decorrer de 4 m.

b) O trabalho realizado pela força-peso (P).

 $$cos 90^{o}=0.$$

A expressão para trabalho é:

$$\tau=F.d.cos 90^{o} = 10N.4m.0 = 40J.0=0.$$

Portanto, seu trabalho é nulo, ou seja,

$$(\tau=0).$$
A força-peso é dada por

$$P = m.g = 2 kg.10\frac{m}{s^{2}}.$$

Fisicamente, podemos interpretar que a força peso de 20 N sobre o corpo, no sentido perpendicular ao seu deslocamento (que foi da esquerda para direita), não transferiu energia ao corpo, quando ela se deslocou 4 m (na horizontal). Portanto, o trabalho da força-peso é nulo.

c) O trabalho realizado pela força normal (N) que é a força de reação do plano sobre o corpo.

- A soma das forças que agem no corpo segundo a vertical é nula, ou seja,

$$P-N = 0 \rightarrow P = N.$$

- A direção da força de reação do plano (onde está o corpo) sobre o corpo é vertical, ou seja, perpendicular (forma 90 graus) ao deslocamento do corpo (horizontal). Já sabemos que 

$$cos 90^{o} = 0.$$

A expressão para trabalho é:

$$\tau=F.d.cos 90^{o} = 10N.4m.0 = 40J.0=0.$$

Portanto, seu trabalho é nulo, ou seja,

$$(\tau=0).$$

A força normal, é dada por

$$N = P = m.g = 2 kg.10\frac{m}{s^{2}}= 20N.$$

Fisicamente, podemos deduzir que a força normal de 20 N sobre o corpo, no sentido perpendicular ao seu deslocamento (que foi da esquerda para direita), também não transferiu energia ao corpo, quando ela se deslocou 4 m (na horizontal). Portanto, o trabalho da força normal é nulo.

d) O trabalho realizado pela força de atrito.

A força de atrito é dado pela expressão

$$F_{a} =\mu.N.$$

onde,

$$\mu,$$

é o coeficiente de atrito e N é a força normal.

A força de atrito atua em sentido oposto ao do deslocamento no sentido da esquerda para a direita do corpo ou seja, ele atua no sentido da direita para a esquerda e forma com a direção (horizontal) de deslocamento um ângulo de 180 graus. Já sabemos que

$$cos 180^{o} = -1.$$

Neste caso o trabalho é dado por:

$$\tau=F_{a}.d.cos 180^{o} = 0,2.20N.4m.(-1)= -16 J.$$

Portanto, seu trabalho é chamado resistente, ou seja,

$$(\tau&lt0).$$

Interpretação física deste item: A força de atrito realizou sobre o corpo um trabalho negativo, isto é, retirou do corpo 16 J de energia no percurso de 4 m.

Interpretação física do problema: No percurso dos 4 m o corpo recebeu 40 J de energia , perdendo 16 deles pela força de atrito. O trabalho resultante foi de 24 J de energia.

Boa sorte!
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